AO

nous trouvons l’équation suivante entre les valeurs limites des angles ACA, et ABC=9;,:

4 sin À — dre.

COS à —

2 dr ?

d’où il suit (4 + r}2— 4 sin? à (3) sin à es 4 dr

$ 3. Passant à la détermination des conditions pour que la courbe décrite par le point M entre les limites indiquées s’écarte le moins d’un arc du cercle quelconque, nous observons que cet arc, de même que la trajectoire du point M, doit être symétrique par rapport à l’axe CM,, et pour cela son centre doit être situé sur cet axe. En supposant que ce centre se trouve en O, (fig. 4), déduisons à présent la formule pour déterminer la distance du point M au centre O,, distance, qui aurait une grandeur constante, si le point AZ décrivait exactement un arc du cercle autour du point O..

Du triangle O,CM nous déduisons

MO = 0,C°+ CM? — 20,0.CM.cos MCM,,

ce qui, après la substitution des valeurs pour le rayon vecteur CM et le cos MCM,, donne:

ü 4 sin? Ed — re

MO? = O,C?+ 4 sin = — 40,C sin + :

1 1 2 1 à 25: © 4 4 sin —

En désignant par ÆÀ le rayon du cercle, de l’arc duquel le point M

s’écarte le moins possible pendant le mouvement du système considéré, nous trouvons pour la différence MO? — Æ? la formule suivante:

4 sin? + d?2 — 7?

MOS— = 0,0— + 4 sin ®—2— 40,0 sin® +

| 4dsin = Occupons nous à présent de la détermination des conditions, pour que cette différence s’écarte le moins du zéro, quand l’angle ©, comme nous

l’avons supposé plus haut, reste entre les limites

$ 4. En posant dans la formule déduite sin =,

nous remarquons qu’elle reçoit la forme

(4) MO— R'— K|(»,æ + 1) vi: + pt + ps |,

K, Pis Pas Ps sont des constantes, dont les valeurs s’expriment par

4 uw, CCR

de la manière suivante:

sin - (d2— r?) 0, C

(5) K = rte d ?

| sin w.d + sin + 0,C P, = 4 w ?

; sin 2 (42 — r2?) O,C (6) cos w.d+c0s + + O,C Pa = — 4 FE ?

sin (4? — r?) O,C (R? — 2 +2 cos w — 0,0?) d — cos (42 — r?) O,C (7) 3 — à

sin (4? — 1?) 0,0

On voit de la formule (4) que pour la même valeur du coefficient K

la différence MO°— PF?

reste d’autant plus près de zéro, que la fonction

Cyr (p,x+ 1) V=+ns + Ds;

s’écarte moins de zéro; par suite, afin de diminuer autant que possible la

valeur limite de la différence MO°— >?

pour des valeurs de +, qui se trouvent entre o — 9, ct 9 —9,, nous devons opérer de la sorte que la fonction Ga+DVEE+ns+p

s’écarte le moins possible de zéro entre x = sin? ©, x = sin” Lee Pour cela nous appliquons à la fonction

1— x me+DVE+ne+p,

le théorème concernant en général les fonctions, quis’écartent le moins possible de zéro, que nous avons démontré dans le Mémoire sous le titre: Sur les questions de minima qui se rattachent à la représentation approximative des fonctions *). En se fondant sur ce théorème et désignant par

°*) T. I, pag. 273—378.

les valeurs limites de la fonction

Be+ VE +pe+p, entre

æ = sin? © æ=sin à,

nous concluons qu’elle doit au moins quatre fois atteindre les valeurs li-

mites — Z, + L, quand les valeurs de x ne sortent pas au dela des limites on LT TU a 1 œ = Sin +, 4 — sin"

Nous allons montrer à présent, de quelle manière la fonction

Be Des

peut être déterminée d’après cette propriété.

$ 5. Remarquons pour cela que toutes les valeurs de +, pour lesquelles la fonction

(p,æ+ 1) Ve À + D, Z + D où l’on a |

x£sin®, > sin;

atteint les valeurs + Z, — Z, sans les surpasser, doivent être égales aux racines multiples de l’équation

[Gp 5 + DV +n + +1] [a—sin? |] x

[(P,& + 1) Vi eno+p—L][r— sin # | = 0.

En effet, on voit de la forme de cette équation qu’elle est satisfaite

par des valeurs de æ qui donnent:

RC À DEN L,

(P,%+ 1) in

on voit aussi de la forme de l’équation, seront ses racines multiples. Quant

aux racines de cette équation qui sont entre sin° ® et sin? 2 9 CIles aussi ne

peuvent pas être des racines non multiples, car pour des racines simples des équations

(p,x+ 1) ee + D,t+p,+L=0, la fonction

après avoir atteint les valeurs + ZL, — L, franchit ces limites.

On voit de cela que dans le cas considéré l’équation (8) doit avoir au moins 4 racines multiples, qui ne sortent pas hors des limites

— gin2 %0 — gin2 2.