GS +: T—SIN

mais cela ne peut avoir lieu que dans le cas, où l’équation a quatre racines doubles se trouvant entre les limites

x — sin? 5, x =sin +,

car cette équation, après avoir été réduite à la forme rationnelle, sera du 8°" degré. Deux de ces racines sont évidemment, d’après la forme de l’équation, co gni 0 es GRR TES c—sin ss t—sin

Quant aux deux autres racines, comme elles sont limitées par les va-

leurs sin? Ÿ, sin? * elles peuvent être représentées ainsi: 2 ? 2 ?

4-0 2, x == sin° 3, où ®,, ©, sont des angles, qui sont enfermés entre ®,, 9. $ 6. Montrons à présent, comment on peut trouver les fonctions

pers (P,%+ 1) = +22 +; + L,

(P,&+ 1) VV +-ne+n—2

étant donnés les angles Por Pir Par Ps)

et comment trouver les angles inconnus 9,, ®,.

D’après ce qu’on a remarqué plus haut sur l’équation (8), on voit que l’équation

oem c]{ne VE eneen 1]

aura deux racines simples

sin? 5, sin? .

et deux racines doubles | te. voit sin) Sin >

Et comme cette équation se décompose en deux suivantes

(p,%+ 1) + ne+n+1=0,

(p,&+ 1) VV +n2+n—L=0,

qui n’ont pas de racines communes et se réduisent à des équations cubiques, chacune d’elles aura une racine simple et une racine double.

En nous arrêtant sur l’équation (p,% + 1) VE + ne+p, + L=0 et admettant qu’elle a pour la racine simple

HAT AU À à | F4 pire mens à À 2

et pour la racine double

x = sin? ®,

nous remarquons que le produit des trois différences V== — cotang %, cotang 2 - Vx— Vi-z, - | cotang # - Va— Vie étant égalé au zéro, donne l’équation

[VE cotang ® | [cotang 2 Va—V1—x|= 0,

qui à aussi la racine simple sin? © > et la racine double sin? 2, Mais cette

équation dont la première partie rate une fonction de la forme

(P, x + DY—+Ps+p,

ne peut avoir trois racines communes avec l’équation

(P,x% + 1) x +ps + L=0,

si elle n’est pas identique à la dernière, et par conséquent doit avoir lieu l'égalité suivante:

(9) (P,x+ 1) Vi +ne+n+l=

(EE cars) (ete V7 V3)

De même, nous trouvons

(P,% + 1) VE +ns+n—L= (V=— cotang 3) (cotang BVr—V1— x).

En soustrayant ces égalités l’une de l’autre, nous recevons

. . g®%) (cotang . Va—Vi—- 2]

= — cotang a) (cotang # Ve 7 1l;. 2).

Cette égalité, qui a lieu pour toutes les valeurs de x, donne, comme nous le verrons, des équations qui déterminent les angles inconnus o,, ®..

$ 7. En chassant les paranthèses dans la dernière égalité et remplaçant les cotangentes par des quotients de cosinus et de sinus, nous trouvons qu’elle se réduit à

sin (ee+ %) s (es +- 4) cos 3 cos 2L = Va (1 —x) +- res.

sin Ÿ0 sin? $2 sin À! sin? Ÿ? sin re sin cos | 9, + F0 cos | PRE cos 22 cos +2 2 2 x ss 9 2 :

in 20 sin? 22 in ?1 sin? #3 in 20 in 22 sin sin? + sin ++ sin? + sin + sin

D'où l’on voit que, pour qu’elle soit possible pour chaque valeur de x, il faut que l’on ait

br P : ?

sin ( Lo + ) sin (+5 + 4) = ,

sin 0 sin? #2 sin ?1 sin ?3

és 2 2

(11) 4 e ; cos (9 + . cos (93 + 4)

0 ones, gin Lgines

sin sin? à sin sin?

Ces égalités nous serviront à déterminer les angles ©, ®.. En divisant ces égalités l’une par l’autre, nous recevons

tang (a+ à) — tang (os+ a)

Et comme les angles ©, ®,, ®,, ©, sont compris entre 0 et x, cette équation mène à une des deux conclusions suivantes: ou à l'égalité

ou à l’égalité

D+N=p+i tr.

De plus, en remarquant que dans le dernier cas on reçoit, d’après(11), l’équation Lo Qin2 92 — Pi ina Ÿ sin + Sin — — Sin + Sin?

qui ne peut pas être satisfaite par des valeurs positives des angles ®,, 9,, Do Ps, ne dépassant pas x, nous concluons qu’il doit être

(12) DL ge 2 et par suite les équations (11) nous donnent

A VU NN TR LE eg a (13) sin sin = Sin Sin + Des deux dernières équations il est aisé de déduire des formules, qui servent à déterminer les angles 9%, 9.

En effet, d’après (12), nous avons

COS D — COS (ea + eu).

et par conséquent

1 — cos (o+

Do — a) %3 7 2 2 2 ue 2 L

— 508 — ce qui, après la substitution dans l'équation (13), donne

1— cos (ee 2 2) 22 — sin 1:

r'Écs 2 , 2 ?

< sin?

sin ©

2) l'équation suivante:

sin F0

ET cotang 2 + co 0 N — 0, CRE a

sin 2

sin? #21 cotang? À + sin 24

En résolvant cette équation par rapport à cotang . et retenant seulement la racine positive, nous trouvons

(14) cotang % — 1 — COS 2

Ainsi l’angle +, est déterminé en fonction des angles o,, o,. Cet angle nous servira comme une grandeur auxiliaire pour simplifier les formules. Quant à l’angle o,, sa valeur peut être aisément obtenu d’après (12), quand on a trouvé l’angle o,.

$ 8. Ayant les angles Por Pis Pas Ps

on peut sans difficulté déterminer les grandeurs

L, Pis Pas Ps qui entrent dans nos formules.

En posant dans l’équation (10)

x —= sin? 4, nous trouvons

21 — (cotang Si — cotang 2) (cotang #2 sin & — cos a},

ce qui donne pour Z la formule simple:

Po Pr 972 OL G sin 5

708$ 1 2 172 sin 2 sin 2

ir t

En remarquant que le produit

%) (cotang . Va—Vi—2)