MO°—R

est sin FA sin? SL (4? — r?) O,C sin + —+- 9 o 9 ° 4 $ in 20 sin #1 gin? #2 2 sin 9 sin 2 sin G

et la plus petite est

sin 90 — 1 sin? 72 U (dr) 0,C sin +

Fr SU: d 2sin sin sin 2

Mais, d’après ce qu’on a dit plus haut, on obtient la première valeur, lorsque

MO, = R,, et la seconde, lorsque MO, = f,, et par suite sin 20% sin? 22 F1 (ge #2) 0,0 sn + R°— R— 2 2 2 : 2 sin 0 gin ŸL sin? 22 ë Er : sin 20 - ®1 gin? #2 = 1 (42 — r2) O,C sin R°— RE = — : :

2 sin Fo sin a sin? .

d’où l’on déduit, en éliminant R?:

sin 0 Prat? ?1 (42 — r?) O,C sin (18) Bÿ= Rÿ— d | sin %o sin hi sin? P2 | 2 2 2

$ 11. Occupons nous à présent de l’application des formules trouvées à quelques cas particuliers et traitons d’abord les cas, où la ligne brisée ABM devient une droite, ce qui arrive si, d’après notre notation,

OT, Comme l'équation (14), qui détermine l’angle o,, ne contient pas

l’angle w, elle reste invariable; les autres formules, après qu’on y a posé w — 7, deviennent plus simples et seront:

sin? Ÿ2 ARE Po P0 (20) CO, = — | sn + a tang (+ %), sin (#2 se à) sin 2081 sin 20 24 sine (+ De %) (2 1) sin? FT = sin? 20 sin? (a+ &) — sin4 ?2

On obtient de ces formules des résultats très simples dans deux cas particuliers, à savoir:

1) quand on suppose

et 2) quand on suppose

Dans le premier cas le système considéré donne un mouvement, qui est très proche du mouvement rectiligne, dans le second cas le mouvement est proche du mouvement circulaire.

En nous arrêtant au premier cas, nous remarquons que, d’après (20), CO, = © seulement pour

(22) Pa +Ÿ— L;,

d’où l’on a

En mettant cette valeur de +, dans l’équation (19), nous trouvons

s Le. 20 1 HE or 0 L-:

(23) = Sn —-5r d=SSsns +;

d’où l’on reçoit, après avoir éliminé sin *, l'équation simple 2+r —= 3 d,

à laquelle doivent satisfaire les valeurs de 7, d, pour que le système considéré, étant composé de trois droites, pût donner un mouvement assez proche du mouvement rectiligne entre les limites plus ou moins larges. Comme le centre O, pour 0,C= co

s'éloigne à co, les ares des cercles concentriques, entre lesquels, d’après $ 10, restera le point M dans son mouvement, deviennent des droites pa- 33*

rallèles, perpendiculaires à l’axe de symétrie CM, et dont la distance mutuelle est égale à la grandeur limite de

R— Ë, pour

CO, = co.

En déterminant cette limite au moyen de l’équation (18) et remarquant (fig. 5) que le rapport

AU 00 ‘oc kB — M,0, . 0,C — CM, pour

se réduit à 1, nous trouvons que cette limite est égale à

sin . PL gin2 221 (92 — r2) sin +

sin © sin ŸL sin? #2 ; Donc, représentant par D la distance mutuelle des parallèles, entre lesquelles est enfermée la trajectoire du point M dans le cas considéré,

nous trouvons pour D la formule:

F0 ho nets Vin No sin——— sin ® (d r?) sin +

’ + Pos. Or 09 De d 2 sin 9 sin + sin 4

qui, après qu’on y a introduit les valeurs de w, o., r, d ci-dessus indiquées, devient |

Gi — sin %) sin + Fi , sin? =— 2 — sn

F2 pe (: + sin %) sin & sin? (2 — +)

Quant à l’angle «, nous recevons de l’équation (21), en y mettant

7 au lieu de 9, +%, l’expression

sin-20Ÿ F1 gin Po — 1 ° [e À LA 2 p.

(25) se sr Sn2 70: ‘né ee sin sin (= 2)

$ 12. Les formules trouvées contiennent outre l’angle ©,, qu’on suppose donné, encore l’angle »,, qui doit être trouvé. Afin de déterminer cet angle nous déduisons des égalités (22), (12)

Pa 27 53 9

ce qui donne

So ®1 1— sin — 1— sin — sin? 2 pe 1—co8p __ 2 , -gin® CA 1— cos ?3 __ 2 s Es 2 2 2 2 2 En portant ces valeurs de SR 209 8 sin? +, Sin’ >

dans la formule (13), nous recevons l’équation

sin 2 (1— sin %)— = sin À (1 — sin 2), d’où il suit

ES FEAT 90

sin —1—sin 5

En nous fondant sur cette égalité et sur l’équation (23), qui donne

SIN -—- — 7 nous trouvons Qu 1—7r Sn —=2——; mais d’après les égalités 1+2r 1—7r (26) | sin", sin = 2 —

nous recevons

cos “e —2ya — Tr) (2+r), cos Ÿ1 =? — 2r) (1 + 2r),

7—8r—87r? ‘ 1+16r7—87r2 RES SE RETENR 1—2 sin? #1 — «

pes PC: D à, id dal cos 9, — 1—2 sin D — 5 » COSP,— D — 5

1 — cos (5%) 1 — gin À

sint (5— %) — Ê 2 6 ë 2, sin #4 . gi PA — MU EP À (4 — 1), sas Ur—na—n,

D’après ces égalités et d’après les équations (26), qui donnent

1—inp= 2, 1+s8nh 2%

: sin {1 — 2 À *,

nous pouvons représenter la formule (24) comme il suit:

pETr (1—r) (4r — 1

27 = PO ST PL T — Do + 29 (2 +7) sin G :

sin?

où le numérateur ne contient pas les angles +, o,. Afin de les éliminer du dénominateur, nous remarquons que

e . De a 2 1 0 — ain gin® ? Le D = < ain LP [1 Legs + a |

=; [sinte — sin? Ÿ + 2 sin’ 4] COS Ÿ1 + — ; [1 +-sin | sin cos Ÿ;

d’où, après avoir porté les valeurs ci-dessus trouvées de

Pain À ‘eo cos À sin, Sins, COS, COS,

nous déduisons

sin or sin? ? RE Re 29; por

Tr [V G—2Ÿ (+ 2)+4 y @+r) a—n)}

par suite, l’expression précédente de D se réduit à la formule

(4r — 1} ue + r) [V6 — 2r} (1 + 2r) + 4 V0 + rÿ (1 — n]

On détermine ainsi la distance mutuelle des deux parallèles, entre lesquelles reste le point AZ pendant le mouvement du système considéré, quand l'angle + ne sort au delà des limites 9 —®,, 9 —+,. Dans ce cas, comme nous l’avons vu, la valeur limite de l’angle 4,04 se déduit de l’équation (25). En y introduisant les valeurs ci-dessus indiquées de

A peser à OP PA D à OS À «| Sin D Sin 23 Sin ( 2),

et ayant égard à ce que, d’après (26),

“re 1+92r sin 9 rsrsqul

nous trouvons l’équation suivante pour angle a, la valeur limite de l’angle A,04:

rC+r)