IE

En y introduisant la valeur de CO, ci-dessus indiquée et remarquant que les triangles CB,M,, CB,M,, dans lesquels

| CB,=BM,= CB; =EM, =}, CBM= 7 — A9BC=T—9, CBM=7T—A,BC=r—39, donnent CM, = 2 cos ©, CM, = 2 cos Ÿ»

nous reçevons

Bo+ ER, __ ®i 90 9 en V0 FF PI in P0 — Ps 5 — —=C08 —C08 » — 2 BR EE NU ES Ro—R, __ 2 cos? Po gu — 2 cos? ÿ 0 + 91 à D unes a OS En) 700 4 C0

Après qu’on y a introduit les valeurs de

Po — Pi

Le RE à VOTE. Gin MORE TE MR Ter:

ces formules se ramènent aux suivantes:

Fo+ R; ___ 2 cos Ÿ sin 24 V2 cos 24 Ro—R, __ 2 cos 24, 2 te sin 34 x 2 "Fan 80?

d’où l’on voit que l’angle 4 ne doit surpasser . et que les valeurs de

ainsi que de diminuent, à mesure que l’angle 4 s'approche de —-. D'ailleurs la première grandeur s’approche du zéro beaucoup plus

vite que la seconde; donc, à mesure que d s’approche en croissant de — le rapport de la première grandeur à la seconde tend au zéro; à cause de

celà la trajectoire de M, pour des valeurs de 4 assez proches de . repré-

sente une courbe, qui diffère peu du cercle. À mesure que l’angle devient

plus petit, le rapport |

Ro— R . R+Ek D

augmente, et la trajectoire du point M se modifie, passant d’une courbe, qui est peu distincte d’un cercle, à une courbe cordiforme (fig. 7).

Fig. 7.

$ 15. Nous avons montré dans les derniers $$ quelques applications des formules générales aux cas particuliers, quand la ligne brisée ABM devient une droite. Occupons-nous à présent de l’application de ces formules aux différents cas, où la ligne ABM reste une ligne brisée, et com-

mençons par supposer que 0,C=0, ce qui a lieu, d’après (15), lorsque

Après avoir introduit cette valeur de w dans les formules (15), (16), nous trouvons

5 sin Ps sin F0 A sin? (e+ #) (36) sin? SE o n 9 in? :© sin? 20 | gint 72 sin? + sin (ee 0) sint ©

OÙ Pa est un angle auxiliaire, qui peut être exprimé en fonction des angles Dos 9, Par les équations déduites dans le $ 7.

Supposant en particulier a=T,

portons cette valeur de « dans la formule (36), ce qui nous donne sin 2 #1 sin = sin? (a+)

2 ?0 2 90 PE Pe sin D sin Do + ri er UR D

Cette équation est identique à celle que nous avons trouvée dans le

$ 13 pour le cas w — 7, et au moyen de laquelle nous avons déduit des formules générales les relations

Pr Vo). .:,9 7%: os, sin + Sin (os + D) = Sin Sr 0—p + + d, en sin 4 A ei: ER sin 24 V2 cos 2Y 4 7 sin 30? sin 4 sin 84 ?

où

nous concluons donc que ces égalités auront lieu aussi dans le cas actuel. En vertu de ces égalités on reçoit, d’après les équations (34), (35):

NP Le 20 + P0— Pi — 2 sin ÿ sin 24 V2 cos 2 r=sn — sin Ÿ ce 2 cos ©? eee sin : in 50 RS PE Re Een à PA à ur à DORE sin 29 d = sin — sm 4 = 2 cos — sin = EN Dans le cas considéré, où RE LA

les positions limites du rayon O4, lorsqu'il tourne dans l’une et l’autre direction, coïncident, sur la ligne du centre OC (fig. 8), et par conséquent les extrémités de la trajectoire du point ÆZ coïncident à présent, de même que dans le cas précédent, sur l'axe de symétrie CM,, et cette trajectoire représente une courbe fermée. Il est clair, de ce qu’on a montré dans le $ 10, que cette courbe est limitée par deux droites parallèles, provenant, d’après l'égalité CO, = co,

des arcs circulaires décrites du centre ©, par les rayont À,, R,, et que chacune de ces parallèles est tangente à la trajectoire du point M en trois points: sur l’axe de symétrie CM, et de chaque côté de cet axe. Cette courbe est d'autant moins différente d’une droite, que les parallèles, entre lesquelles

elle est enfermée, sont plus proches l’une de l’autre. Pour déterminer leur distance mutuelle, remarquons qu’elle est égale à la distance des points M,,

Fig. 8.

M, de l'intersection des parallèles avec l’axe de symétrie CM,, où ces parallèles sont tangentes à la trajectoire considérée. Des triangles isocèles CBM,, CB,M., où CB, = B,M, = CB, = B,M, — 1, CBM,=0— 4B0=0—9, CBM,=w—ABC—0—0, on à (37) CM,=2 sin =®%, CM, =2 sin “4;

donc la distance des points M, se détermine par la formule MM, = CM, — CM, = 2 sin 4 — 2 sin —®, qui se réduit à

is o PoriPrviuss PO PE MM, = 4 cos ($— 25) sin #0;

d’où, après qu’on y a introduit les valeurs ci-dessus montrées de

0 + Pi 0 I ge Sin TE ct

on trouve

__ 4 sin 24 V2 cos5 24 MM, . sin 3Ÿ è

On voit de cette formule que l’angle 4 ne doit surpasser . et qu’à mesure qu’il s'approche de TT la distance mutuelle des parallèles, entre lesquelles s’accomplit le mouvement du point M, quand le rayon AO tourne

autour du centre O, diminue; à cause de celà, le point M, quand 4 est assez proche de 7 s’écarte peu de la droite, qui se trouve entre les paral-

lèles à la même distance de chacune d’elles.

$ 16. En parlant du cas, où le rayon AO accomplit un tour complêt autour du centre O, nous avons fait des suppositions particulières concernant l’angle entre les deux parties de la ligne brisée ABC ou la distance des centres C, O,. Nous allons montrer maintenant l’application à ce cas des formules générales, en ne faisant aucune hypothèse spéciale. Les équations qu’on reçoit ici seront plus compliquées que les précédentes; mais elles se présenteront sous une forme, qui est commode pour le calcul.

Afin d’appliquer les formules déduites dans le $ 9 au cas, où le rayon AO accomplit un tour complet autour du centre O, posons