LE ML

RER 2 sin g 08 — 7 sin (5 LL Piolit hin ) 227 sin Ne nes fe 9 2

Po 9 sin 4 COS (S—a),

Nous les avons trouvées en supposant que les points M, M, sont situés plus bas que le centre O,. Dans l’hypothèse contraire, nous recevons les mêmes formules, mais accompagnées du signe —. Donc, pour embrasser les deux cas, prenons les formules avec le double signe +. Dans les formules

Le Or EC EE 00 2 sin & cos #0 sin ($ .: RES Su )

Fo + E, SRE 2 $ DS VS ww

à sin (e + . 5) Bo —R = + Po Po + Pr

SRE LOS 2 sin 2271 7 cos nr À

ainsi obtenues il faut garder l’un ou l’autre signe, ce qui se détermine par la condition que la demi-somme Ro+R; ne peut pas être négative.

Passant au cas

cos (o — D — =) mn te quand, d’après le $ 17, le centre O, est situé entre les points M,, M, et supposant (fig. 9) que le point M, est au-dessous du point ,, nous trouvons O0,M,= CO, —CM,, O,M, = CM, — CO,,

et par suite, d’après le $ 10, nous aurons

À R,—=CO0,—CM,, R, = CM, — CO,, ce qui donne

Ro+ Bi CM CMo, Ro pp __ CMot+ CM,

2 2 s 2 1 2 Si nous comparons ces égalités avec celles que nous avons reçues pour le cas | 20 cos (o ul ga —*®) «0, nous remarquons qu'ici on a pour la demi-somme

Ro + R

la même expression, qu’on à trouvée plus haut pour la demi-différence Ro— ER; ?

et vice-versà. Donc, en appliquant les formules ci-dessus trouvées au cas considéré, nous aurons

ot — ss à ain LOL ee COS (5 PA à ! 2),

nt nn 77 Ro—R 9 1 sin (Ÿ . )

: sin (e,+ 2%)

sin = cos

Ces formules concernent le cas, où le point M, est situé au-dessus du point M,. Pour la position inverse des points M,, M, on recoit les mêmes formules, mais avec le signe — ; et par suite nous aurons en général

Ro 8 0 5. 20 — Pi w Lo + 35. = +28 "cos (5 —25a), oo Lo — Pi nn — #4) Bo + 9 Sin 5 COS ——— sin (5 Po 2 pur Lo ’

où il faut retenir celui de deux signes +, qui donne pour

FR, Le ous R; : 2 une valeur positive.

Les formules déduites contiennent, comme cas particuliers, les formules que nous avons trouvées dans les $$ 13 et 14, en supposant que l'angle ABC est égal aux deux angles droits, et dans le $ 15, où nous avons supposé que la distance O,C est infinie. Les premières de ces formules proviennent des formules générales, qui ont lieu pour |

cos (o—9— à) pe À 13 et les autres dérivent des formules obtenues dans le cas cos (u— 7, —%) <7 0.

On retrouve les premières formules pour

W = TT, et les secondes pour

We 2 (9, +2).

Nous avons vu que dans ces cas particuliers la trajectoire du point M présente deux formes différentes (fig. 6, 8). Dans le cas général on obtient aussi des trajectoires de deux formes différentes, selon le signe de

cos ( RE ). Si

COS (o—4—%)> 0, la trajectoire a la forme de la courbe, dont nous avons parlé dans les $$ 13 et 14. Mais si

cos (o— 9 —%)< 0, la trajectoire sera une courbe semblable à celle, dont nous avons parlé dans le $ 15, mais avec cette différence, qu'ici (fig. 10) les droites parallèles

sont remplacées par des arcs des cercles concentriques, décrits du centre ©, avec les rayons R,, R;.

$ 19. Dans les $$ précédents nous avons considéré le cas, quand l’angle A,0A varie entre les limites les plus larges, passant de — + à + 7.

Occupons nous à présent du cas contraire, en supposant que l’angle A,04 reste entre les limites infiniment proches de zéro. Supposons pour cela que «, la valeur limite de l’angle 4,04, reste infiniment petite. On voit de l’équation (16) que pour une valeur infiniment petite de « la différence

Po — Pi

est aussi infiniment petite; donc, en négligeant les grandeurs infiniment petites devant les grandeurs finies, nous aurons dans le cas considéré

; Pa: Tes et par suite Pa — Po; parce que, d’après le $ 5, l'angle o, doit être compris entre les angles ®,, o..

Substituant ces valeurs de o,, +, dans les équations (15), nous recevous pour r, d, CO, les formules suivantes:

in ?0 te al: (5%) + sin 2 sin 2 sin (5 ) cos | 9 T =SIn + — PAS Fe ; ; __ 3% ; __ 3% sin (o L 2 ) sin (o 2 ) sin? . 2 sin F2 cos (3%) sin (5 2e) d = sin © + = e d ë 3% Ô __ 3% sin (o 2 ) sin (o p ) co 2 sin a cos (£ œ) sin (5-2) 1 — os

Si nous remarquons que pour ces valeurs de +,, ©, il vient

sin Le sin? (o — D? — à) sin ®p sin? (o —— =) — ?

«0 P0 ?o . 1 Pa : a PO à 390 «4 P0 2 20 sin? Lo — ©, — 70 4 0 2 20 $in? {© — 220 | — int 2 sin? = sin (»— 2 )- sinf sin? sin (w 2 | sin

nous déduisons de l’équation (16) la relation suivante entre les angles infiniment petits & et ©, —o.:

« : 3% sin ®, Sin? (» —%) 4 2 Li h à À + 2 P0 + 3%0 + 4 P0 2. sin? — sin? (o — Te) — sint 2

si —

ce qui donne

sin? Fo sin? (w — 2) — sin ?0 ; :

à Don 0 D RD 20e) à

(42) P—h— — 2 sin ®, sin? (o—%) 4 cotang sa sin? (o -+)

Passant à la détermination du rayon RÀ, d’après le $ 10 et supposant (fig. 11) que le centre O, est au-dessus du point M,, nous trouvons que