R,— 0,M,=— C0, — CM

Fig. 11.

Introduisant ici la valeur de CO, ci-dessus trouvée et changeant, d’après

(37), CM, en 2 sin —*®, nous recevons

Nous avons déduit cette formule, en supposant que le centre O, se trouve au-dessus du point M,. Dans l’hypothèse contraire, nous trouverons la même formule, mais avec le signe —, de sorte que pour embrasser les deux cas, nous écrirons cette formule avec le signe double,

Dans la formule

st . D—9 (43) R= +2 sin —"* in (5)

ainsi obtenue, il faut conserver le signe, qui donne pour À, la valeur positive.

Ayant le rayon R,, on peut, d’ après la formule (18), déterminer le rayon À, par l’équation

sin = sin? 2— Le ae (a? — 12) co, sin F

R2— | HE e R P Qi = d

GR SR Sn — 2 2 2

Dans le cas considéré les différences ®, — 9., D — ont des valeurs infiniment petites. Pour trouver leur rapport, posons ; Po— PA, Ps —Pi—= A ce qui donne P1—= Po— A, P—=P—A+A,,

et par conséquent, on reçoit, d’après (14), l’équation suivante entre les grandeurs infiniment petites À et A; :

Po— À +-A 1 a : A

0 Leur: me LASER =

cotang F Le A pr TN cos + 4 2

Développant suivant les puissances de A, A, et nous bornant aux infiniment petites du premier ordre, nous recevons de cette équation

A, == + À, ce qui, d’après notre notation, donne Pa — Pa = + (Po — Pi).

Substituant cette valeur de o, — +, dans l’expression

Po 7 91 92. ŸL

sin 5 sin 5 (4? — 12) CO, Po D 2 ?2 d

sin 2 sin 2 sin 9

et remarquant, d’après les valeurs ci-dessus trouvées de ®,, o,, r, d, CO,, que

(42 — 7?) CO, Frs 4 DU nus ou /80: © \ d sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin (* 2)

nous trouvons, exactement jusqu'aux puissances de ®, —+, du troisième

degré inclusivement, a 0 VI ST OT. LS su SU die em se =s sin Re rs (4 — r2) CO, sin > 3 (20 — 9) sin 2

in % sin 22 sin? 22 à RTE Fm 2) sin 2 sin 2 Sin 2 sin 2 sin 2 2

par suite l'équation, qui détermine R.°, donne avec la même exactitude

y Go—-nsn— 1. Go—n)sn > labs ct = Lo — 7% , E, — R, 32 . Lo ral 3% © ? R, EF 64 = So FR 390 __ © R, , sl D 2 2 2 2 2

Il suit de la dernière égalité

o — 0:)$ sin —

USE MER RE 128 . ST w

sin 2 - sin (5) Ro

ce qui présente la limite supérieure de la déviation du point M du cercle

Ro+R décrit par le rayon ="

et ayant pour centre O, dans le mouvement du système considéré, quand l'angle « reste entre 9 —=9,, 9 —®..

Substituant ici la valeur de o,—+, d’après (41) et la valeur du rayon ER, d’après (43), nous trouvons pour cette limite l’expression suivante:

1 sin T sin? sin3 (6 — 99) sin8 (o — 29) 6 16384 Po :. © —P0 + W—290 : 3%0 é , «29 To cost à sin — sin ® sin 2

où « est la valeur limite de l’angle 4,0A. D'où l’on voit, qu’à mesure que l’angle « tend à s’annuler, ces déviations diminuent très rapidement, et par suite pour de petites valeurs de « la trajectoire du point A diffère très peu

de l’arc du cercle décrit du centre O, par le rayon LA,

Les formules que nous avons démontrées représentent la limite, à laquelle s’approchent les formules générales, quand l’angle « tend à s’annuler et peuvent servir à la résolution approximative de diverses problèmes qui concernent le système considéré, quand l’angle « est assez petit.

SUR LES EXPRESSIONS APPROCHÉES DE LA RACINE CARRÉE D'UNE VARIABLE PAR DES FRACTIONS SIMPLES.

(TRADUXX PAR C. A. POSSÉ))

(Lu le 14 mars 1889.)

(Traduit par A. Vassilief, à Kasan. Annales scientifiques de l'Ecole Normale supérieure. III série, XV, 1898, p. 463—480.)

nepPenmrEnHou Teppe36 npPocmnmuAr Opobu.

Ipuroxenie ke LXI romy 3anucoxs Huneparopcroë“ Axaxemin Hayxr, M 1, 1889 r.)

Ongenäherle Darslellung Der Quarahwurzel einer Veränoerfichen millelsl cinfacher Brüche.

(Übersetzt von O. Backlund. Acta mathematica. XVIII, 1894, p. 113—182.)

red her one @æ

Sur les expressions approchées de la racine carrée d’une variable par des fractions simples.

$ 1. Dans l’évaluation des quadratures on est souvent obligé de remplacer les fonctions offrant des difficultés à l’intégration par leurs expressions approchées. Lorsqu'une difficulté pareïlle provient de la présence d’un radical du second degré, on pourra employer très utilement l’expression approchée du radical VE

B; B; En Ari Qte RE SRENT e

par une fonction de la forme

qu’on obtient à l’aide du premier théorème démontré dans notre Mémoire, sous le titre: Sur les questions de minima qui se rattachent à la représentation approximative des fonctions *). Quand on se propose de diminuer autant que possible la limite de l’erreur relative pour toutes les valeurs de x, deæ—=1àx—h > 1, la meilleure représentation du radical

par une fonction de la forme

B Étptet Ride 1+æ Co+x Cn+x sera celle, pour laquelle les rapports = A+ a + 7 +... + Bn æ C+xz C+x Cn + ? sn SR MD à C+xz C+x Cn+ x pa

s’écartent le moins possible de 1 entre = 1, x —h.

Nous pouvons trouver une telle représentation du radical ie æ

au moyen du théorème mentionnée ci-dessus, en l’appliquant à la détermination des valeurs

A PS PPT PE

pour lesquelles le logarithme du rapport

V T æ BP;

B; Br AG ER" DER TI ne ou Dee Cas 0e

æ s’écarte le moins de 0, æ variant de æ—1 à x —h. Supposant que dans l'intervalle x — 1, x —h les valeurs extrêmes de ces rapports soient

l, EE Æ l, nous nous convainquons, en vertu du théorème mentionné, de la possibilité d'approcher ces limites à 1 par un changement convenable des 2n + 1 quantités

D 1) Di ol ii honte,

qui figurent dans la fonction B, B, F: 3e

DORE Cie D Dos Vz [a+ B, B, En ] V= en Cite Cotz °°° Cyraæ|?

si, dans l’intervalle de = 1 à æ—, elle atteint les valeurs extrêmes

moins de 2n <+- 2 fois. | Il en résulte que la plus grande approximation des limites

à l’unité ne peut avoir lieu que pour de telles valeurs

44 D. h Cic...e

pour lesquelles la fonction

(1) y=Vr|4+ D + “a |

+ CG +x

dans l'intervalle

atteint au moins 2» + 2 fois les valeurs /, +, sans les franchir.

Nous allons montrer maintenant comment d’après cela se détermine la quantité / et la fonction y, qui donnent la solution de nôtre problème.

$ 2. Comme la fonction y, se réduisant à / ou + pour une valeur de x entre æ — 1 et x — h qui ne rend pas

et qui est différente de Ts et dépassera évidemment les limites /, +, ils doivent exister, d’après ce qui précède, au moins 2n + 2 différentes valeurs de x, dans l'intervalle de æ = 1 à æ —h, susceptibles à vérifier l’équation @—ÿ) (—Ëy)—=0 ‘en même temps que l'équation dy\2 (2) x (1—%) (k—x) = 0,

dont les premiers membres représentent d’après (1) des fractions rationnelles au dénominateur commun (Cæ+az) (CG, +). ..(C, + x)

et aux numérateurs de degré 4n + 2.

Or d’après la constitution de ces équations il est clair que leurs racines communes autres que

Wet, Dh,

doivent être racines multiples; par conséquent ces équations ne peuvent avoir lieu simultanément pour 2n + 2 différentes valeurs de æ, sans avoir 4n + 2 racines communes, égales ou inégales, ce qui suppose leur identité, car d’après ce qui précède, elles se réduisent à des équations de degré 4n +-2.

Or ces équations ne peuvent être identiques que sous la condition

EG —2y)= 0 (2) & (1—a) (à —

er V6

où CU est une constante; d’où il résulte l’équation différentielle:

— 0y ru ox k (2) VO pirr et 000

Parmi les diverses fonctions y, qui satisfont à cette équation pour des valeurs quelconques des constantes / et C, il est facile de distinguer celle qui donne la solution de nôtre problème.

Remarquons dans ce but que d’après (1) l’égalité

Du 3 — 0 se réduit à une équation de degré 2n, et par conséquent la dérivée 2 ne

peut s’annuler plus de 2n fois, depuis x — 0 jusqu’à & = + co. Or d’après ce qui précède elle se réduit à zéro au moins 2n fois dans

l’intervalle

al 2h

donc elle ne peut point s’annuler dans les intervalles

Z2=0, 2<1, Z>œR, :z=+oo,

tandis que dans l’intervalle

elle doit s’annuler 2n fois.

En vertu de cela, l’équation (2) donne entre les intégrales définies

1 h ox 0x [= (x) Ga) Enr

dy À dy j Ai — ÿ?) (1 — EP y?) V(y2 — À) (1— 2 y?)

la relation suivante

1 1 0y Ôx PE à (1 — 2 y?) Væ(1—x)(h—x) (3) ï —(2n + 1) L x

l dy Ôx Ï VD (EE) UD

$ 3. A l’aide de. cette égalité il est facile de calculer la valeur de / d’après la valeur du rapport des intégrales

1 h x Ôx x [= ha) Rare

Parmi les diverses formules, dont on peut faire usage, nous allons choisir dans le cas actuel celle qui suit:

+ qi 2 + qu +6 +, “E 8 + + gr ri + gon-+3 +. )

nie 1 16 ie 1=+00

2 qg(2n-+1) à (2i+1) #=—@ où 7 (1— x) (h — x) ne ox

q—=e 1 Va(æ—1)(h—x)

Cette formule fait baie voir avec quelle rapidité, lorsque le nombre »

augmente, les quantités /, — s’approchent de l’unité, et par suite l’erreur relative de la formule

B,; B, FTUre C, + x

RS ds +

qui donne la valeur approchée du radical

ge V= dans l'intervalle de.x — 1 à x — h, diminue.

Désignant par © une quantité moyenne entre 0 et 1, nous trouvons

pour représenter toutes les quantités renfermées entre /, + la formule 2°;

par conséquent, d’après ce que nous avons montré à l’égard de la fonction

y=Vx [A+ TS + +. |

C;+x Cy+ x $ Cn+ x j?

on aura l’équation suivante pour la détermination du radical V=:

5 1—298 [ 1 B; By | (6) 4 A+ tnt +o | 35%

$ 4. Les quantités A Ts D is in Cases qui figurent dans cette formule se déduisent facilement de l’expression de l'intégrale de l’équation (2), qu’on obtient supposant que l'équation (3) ait

lieu.

Représentant cette intégrale sous la forme

Va [4+5 eo b

pee C, + x Cn+x

nous trouvons que les quantités ED STRESS à ME Qu AL ES

se déterminent à l’aide des fonctions elliptiques au module

(6) k= Vi

et RL ds à A . = , 1 — k? sin? © par les formules suivantes Fe ji 1VR [+2 an ËE +2 dm an Par. | 2n + 1 On + 1 2n +1 2 VR dn 92mK Le 2mK Pi 2n + 1 Re 2n + 1 1sn? — [1424 Mare D UE PE 9n + 1 DT 2n +1 On + 1

Remarquant que la fonction 2mK dm 3 n +1

se réduit à l’unité pour »#—0 et ne change pas par le changement de "» en — 7" nous pouvons FRE la somme

92nK re .. + 2dn

2mK Dan On + 1 +.

le signe de la somme étant étendu sur les valeurs

1 + 2dn + 2dn

sous la forme

Mm—=—n, —(n—1),...— 1, 0, 1,...n—1, n.

D’après cela nous aurons

2Vh dn an K Li 1 à 2n + 1 eu 2mK ? AGE 2mK 2mK D a D M cc MS a NE 0 et — 92mK De dat 5 1 Cm+x ) 2 2mK Ÿ'a 2mK 2mK ” Qn + 1 2n + 1 9n + 1 h+ x nl 2mK 9n + 1 2mK a PONT VA

Comme l'expression

d 2mK 7 "NT: Vh

D 2mK 2mK 2mK PER LIRE 2 RS M ETT | t an 2n +1 Cr ES A 2n + 1

se réduit pour # — 0 à

— N1 2mK ?

1VR > dn ce qui est égal à À, et ne change pas de valeur par le changement du

signe de »”, on voit qu’en prenant la somme de ces expressions pour les valeurs suivantes de »”:

on obtient l’expression de la somme

+ Bn CG, +x C,+x

FT ed

Par conséquent, d’après (5) on aura la formule suivante pour l’évaluation du radical =

x ne dépassant pas les limites x — 1 et x —h:

2mK y Vhdn ER | " 2mK hen2 2mK

Fe 2 (7) V== acer PS A MÉTESS z pe à d 2mK

$ 5. L'égalité que nous avons obtenue donne le moyen de déduire facilement une formule qui fournit les limites de la valeur de l'intégrale

: à l’aide des intégrales contenant la fonction V hors du signe du radical. Il est nécessaire pour cela que les fonctions U, V restent positives pour toutes les valeurs de la variable sur lesquelles s’étend l’intégration. Désignant par M, M, < M les limites que la fonction V ne peut franchir, nous remarquons que l’expression .

M restera entre les limites

et par conséquent entre les limites

D'où l’on voit que pour les valeurs de , sur lesquelles s’étend l’intégrale :

l'égalité (7) est applicable à

Hh ee LÉ ne Ph en supposant M h ue : Fi

En substituant ces valeurs de + et À dans l'égalité (7) nous obtenons eZ 2mK ES V MM dn D +1 me LS + Men? 2mK

cad tant vz . 2n + 2n +1 LA 2mK 2 20 + RS, . An +1

ce qui donne après la réduction du facteur commun VM,;:

— 2mK VM dn RE re 2mK 2mK ar 2 A muum ol += RC Di y 120 » an 2mK

pe An + 1

D'ailleurs la fonction U restant, par supposition, positive pour les valeurs de « sur lesquelles s’étend l’intégrale

on aura, d’après l’égalité précédente, où 9 est une quantité inconnue entre 0 et 1, la formule

- 2mK er es | VI dn Le Uù 5 2mK 2mK 2 2 (8) l Udu Mr On +1 VV: a 2mK

120 > ah ————

Cette formule a été obtenue en supposant

par suite d’après (6) nous aurons (9) M,= M (1 —%).

Ce qui nous donne une relation entre les quantités M, M, que la

fonction V ne doit dépasser dans les limites de l’intégration, et le module k, dont on se sert pour former la formule (8) et l’équation (4).

Désignant pour abréger

par s,, nous trouvons

L VIS, dn "= Vi Hs,

Dan 12 VIF 5 +2 Vl—Psi+...+2 VIFS,

2n +1 et d’après cela, en posant

(10) S— 1-42 VIF 5249 VI +... +92 VIP;

et (11) F(s) =

VM V1—72 s? Uôdu S Vs? + M(1—5°)’

nous aurons en vertu de (8):

La quantité @ étant comprise entre 0 et 1, cette égalité donnera pour 48 — 0 et 0 — 1 les deux limites de la valeur de l’intégrale [ — Ou:

EE du F(0)+2F(s,)+2F(s)+. .+2F(s,),

| JL duz x [F(0)+2F(5)+2F(8)+ ..+2F(s,) |,

où / est une quantité déterminée par l’égalité (4) dont la composition montre que ? s’approche rapidement de l’unité lorsque le nombre x augmente.

$ 6. Passant aux applications des formules que nous avons déduites, commençons par le cas:

U=1,V=.1— X sin,

où À << 1. En prenant 0 pour limite inférieure dans l’intégrale

vou __ | 2" Vr | nous trouvons que la plus grande valeur de la fonction V— 1— X sin? #

dans les limites de l’intégration est 1, et par suite d’après notre notation

nous pouvons prendre ME 1

Pour cette valeur de M l’équation (9) donne M,=1—4?, M, étant la limite inférieure de la quantité V= 1—X sin° w,

que celle-ci ne doit. dépasser pour que la formule (12) soit appliquable.

Or la fonction V ne devant pas franchir la limite M, pour toutes les valeurs de « sur lesquelles s’étend l’intégrale

du ee V1 — À2 sin?

pour toutes ces valeurs de #, on doit avoir

1—X sin? > 1 — À, et par conséquent sin #Z . .

Si ÀA<R,

cette condition sera évidemment remplie pour toutes les valeurs réelles de u; donc dans le cas de | 1<k

on pourra appliquer la formule (12) à l'intégrale

du V1 — À? sin? Fr

u étant aussi grand qu’on le veut.

Quant au cas de A>k

la condition précédente ne sera remplie que pour des valeurs de % qui ne surpassent pas

PR arcsin =;

par conséquent dans le cas actuel nos formules ne sont applicables à l’in-

tégrale u du .

V1 — X2 sin? w e 0

D ER wZarcsin —-

que sous la condition

Substituant dans la formule (11)

U=l,; F=1i-+danu, M1,

et prenant O pour limite inférieure de l’intégration, nous trouvons que dans le cas considéré

Uu V1—k2 5? ou F(s) — S fine 82+1— 5?

SALE a a roi = arc tang (VI —X 5 tang u).

A l’aide de cette fonction et les quantités Si. D,

qui se déterminent ($ 5) par la fonction elliptique au module #, nous obtenons d’après (12) une équation donnant les limites de la valeur de l'intégrale

u du Vire s

qui se rapprochent rapidement lorsque le nombre » augmente.

$ 7. En nous arrétant à la supposition particulière

—# q—=e€ ; RE

nous trouvons

et par conséquent l’équation (4), qui détermine la valeur de / pour diverses valeurs de », se réduit à la suivante:

M 16 —(n+1)% 1He—(4n+2) Rp e—(i2n+6) RL, \8 FRAME nr me).

Cette équation pour nt 2.5 donne D'où l’on voit avec quelle rapidité se rapprochent, pour des valeurs croissantes de », les deux limites de la valeur de l'intégrale

du VI= sn

fournies par la formule (12).

En posant dans cette formule » — 1, nous obtenons

(1 Le = à (FO-+2r 0)

L’équation qui détermine S se réduisant pour

sn = 5, — 0,9002272,

à l’égalité

nous trouvons S — 2,5424598,

en vertu de quoi, d’après (11), pour #4 — VE il résulte

y: ni fai tang (V1—72 5? tang u) F(s) = 2,5424598 V1 — À25è En faisant ici 8—= 0, 8—=58,—0,9002272, nous trouvons F\0}= 0, 3933199 U,

0,3033401 arc tang (V1—0,8104089 X? tang u) F(s,) — V1—0,8104089 2

ce qui, étant substitué dans l’égalité (12), donne la formule suivante pour l’évaluation de l’intégrale

Ï V1 — }2sin?

1 0 3933199 w-4- 26066801 arc tang (VT— 08104080 1€ tang u)] . V1 — 0,8104089 À?

Posant n — 2, nous trouvons que dans le cas considéré l'égalité (12) se réduit à la suivante:

du PR. B, B, [= ET æ md [Au + F, arc tang (R;, tang uw) + R, arc tang (R, tang «) |

où .

Des formules semblables par rapport à l’intégrale

u 1 + p sin? Ou 1+ q sin? w y] 2 sin? w

s’obtiennent de l’égalité (12) en y posant 1 in? .

Vie V= 1 — À sin w.

$ 8. En substituant dans l'égalité (12) au lieu de U et V diverses fonctions, nous obtenons des formules qui donnent les limites des valeurs des intégrales de la forme

dont l’évaluation présente souvent de grandes difficultés. Ainsi, posant V—=1—% sin u; U— D (tang %),

où D(tg u) est une fonction qui conserve le signe + dans les limites de l'intégration, nous trouvons

(0) EE ou = 75 | F(0)+ 27 (8) + 2F(8,) +... + 2F (6) )

où u

NES | D(tang u) Ou

F(s)= S 1 — 252 sin?

Ces formules, d’après ce qu’on a remarqué dans le $ 6, auront lieu pour toutes les valeurs de 4, si À<k.

En supposant cette condition remplie et prenant . pour la limite supérieure de l’intégration, nous tirons de ces formules: |

TL zx (2 V1 —%2 5? o u) du

S 1— 282 sin? #

Posant dans la dernière intégrale tang u— 2,

nous trouvons qu’elle se transforme en

(ee) ® (2) 02 ° 1+(1— 252) 22?

en vertu de quoi l'égalité (11), qui détermine la fonction F(s) dans le cas considéré, se réduit à la suivante

co V1—k2s? O (2) 0z S 1+(1— À2 52) 2?

D'où l’on voit que la formule qu’on obtient pour l'évaluation de l'intégrale # RT. (tang w) du FL VI su

ne contiendra que des intégrales de la forme

co D(z) d 1+(1—X 52) 2°?

dont la valeur est connue pour certaines formes particulières de la fonction D (2).

Ainsi, dans le cas où

nous trouvons

0 0 2 sin À (1—225t)?

et d’après cela, en déterminant l’intégrale

T D (tang u) Ou jo : tangP—1 y du sin? w V1— À sin?

au moyen de l’égalité (12), nous aurons

zx V1—k2s?

F(s) = RE 2 sin 1° (x a)? S

par conséquent cette egalité donne

Ée 1+2 RE +3 VS.

. tangP—ludu 7 A—2X2s82)P ‘°° (i—22s,2)P.

1 — À? sin? w - re S sin PT :

d’où, en substituant la valeur de S, tirée de (10), nous obtenons

1—%25s,2 1—ks, 1+2 Va +2 rs

14+2 V1—kHs2+...+2V1—K28,2

: tangP— lu ou __ 2 V1— }2 sin? w me in 27

Sr os . À Dans le cas particulier, où l’on prend 4 — V= et n — 1, cette éga-

donnera pour la détermination de l’intégrale

| tangP—1 y du

VIT ein &

39/7 L pour ÀZ V=. Ja formule suivante: