TT

5 lo,3933190 + oso6eson |, 79 sin Ê® de (: — 0,8104089 x)"

Posant n — 2, pour la même valeur du module 4, nous trouverons pour

l'évaluation de l’intégrale T

2 tangP—1 4 Ou = ) V1 — X2 sin? w

pour ÀZ +, la formule:

5 3 04188063 0,3451258 PR 0,2360679 + U .. 1 E 2 (1— 04262068 we) (1 0,9313131 x)?

où = 0,9999988.

SUR LES SOMMES COMPOSÉES DES VALEURS DE MONÔMES SIMPLES MULTIPLIÉS PAR UNE FONCTION QUI RESTE TOUJOURS POSITIVE.

(LTRADUIX PAR D. SÉLIVANOFE.)

me eee nent moe eee

(Lu le 9 octobre 1890.)

MmOoPaA ocmacmcAr noropumenrtnor .

(Hpuroxenie && LXIV-my romy Sanucoxr Huneparoperoï Axanemin Hayxr, X 7, 1891 r.) :

ÉS is

Sur les sommes composées des valeurs de monômes simples multipliés par une fonction qui reste toujours positive.

$ 1. En développant une fonction f(x) suivant les puissances ascen-

dantes de la différence xz— X,

on obtient une formule servant à exprimer approximativ ement la fonction f(&) sous la forme d’un polynôme dont les coefficients se déterminent par les valeurs de la fonction primitive

pour æ = X. Eu développant f(x) en une série de forme plus compliquée

et ses dérivées

(1) K,U,+K U,+kK, U,+...., où D, UC, ü,...

sont des fonctions de la variable x indépendantes de f(x), on obtient pour la détermination des coefficients

M res des formules pouvant généralement être présentées sous la forme suivante K= D nf) K= Da) ft)...

Les fonctions

Pot), p,(x), P,(x),....,

pen ue

qui y entrent, et les valeurs de la variable x, aux quelles s'étendent les sommes, dépendent de la nature des fonctions

Dos VU, U,....,

servant à la formation de la série (1).

Dans les cas singulièrement simples, quand les fonctions

Do (x), Pi (x), 93(x), - .

sont des polynômes des degrés Ds,

ces sommes se décomposent en sommes élémentaires

(2) Dale Ste) dre) et alors les expressions approximatives de f(x) données par la formule (3) fa) =K 0, +K U,+K. U,+....

s’obtiennent à l’aide des sommes (2) formées avec les valeurs de monômes

multipliées par f(x).

Les expressions approchées de la fonction f(x) ainsi obtenues diffèrent essentiellement de celles qu’on déduit par le développement de la fonction f(x) suivant les puissances de la différence z— X et qui donnent des polynômes les plus rapprochés à f(x) dans le voisinage de x = X.

Ayant un moindre degré de précision, quand il s’agit de calculer f(x) dans le voisinage de æ—X, ces expressions approchées donnent en certains cas une meilleure représentation de la fonction f(x) pour les valeurs de æ variant entre des limites plus ou moins étendues.

Ainsi il résulte de notre Mémoire «Sur l’interpolation par la méthode des moindres carrés» *), que la série (3) avec les fonctions

LE RRRS PÉUSE 5 PORAEENRNES déterminées par le développement de la somme ..

en fraction continue, et avec les coefficients

Ki, K;, K,,....

composés linéairement à l’aide des sommes

D'ære, Date) Ùzf@)....

donne l’expression approchée de la fonction f(x) sous forme d’un polynôme du degré plus ou moins élevé se distinguant de tous les autres polynômes du même degré par la moindre valeur de la somme qu’on obtient en additionnant les carrés des écarts des valeurs de ce polynôme des valeurs de [(&,) servant à développer f(x) en série (3). En passant à la limite, quand toutes ces valeurs f(x,) se confondent avec f(X), ce polynôme se réduit à l’expression approchée de la fonction f(x) qu’on obtient en développant cette fonction en série suivant les puissances ascendantes de la différence x— X. Cette expression représente f(x) avec la plus grande approximation pour x infiniment voisin de X.

On obtient une formule plus générale pour le calcul approché de la fonction f(x) au moyen des sommes

> æ,° f(&;), 2 T, f(x;), D; L Fe f(&;), frs

par la méthode que nous avons indiquée dans le Mémoire «Sur Les fractions continues» *), Cette formule se présente sous forme d’une fraction

dont le dénominateur Æ,(x) est une fonction arbitraire positive pour toutes les valeurs + — x,; le numérateur F(x) est un polynôme du degré plus ou moins élevé. La fraction ainsi obtenue pour l’expression approchée de la fonction f(x) se distingue de toutes les autres fractions ayant le même dénominateur Æ(x) et le numérateur F(x) du même degré par la moindre

valeur de la somme F(x;) |?

D (ED) — re) RE.

Il en résulte que les sommes

D'ate) date), D'zfe)...…,

de même que les dérivées

peuvent servir à déterminer la valeur approchée de la fonction f(x) pour les valeurs de la variable z contenues entre des limites plus ou moins éloignées.

*) T. I, pag. 203—230.

D’après ce que nous avons indiqué *) sur les intégrales

J f(œ) dx, | f(x) dx, Î #° f(&) 42. .:.,

aux quelles se réduisent en limite les sommes

à a f(&;), æ, [(&;), > D F(Rh..e,

on voit que ces sommes, de même que les dérivées

peuvent servir à la résolution des questions concernant la fonction f(x), essentiellement différentes du calcul par approximation des valeurs de la fonction pour les différentes valeurs de la variable x. Les résultats obtenus ont lieu aussi pour la fonction discontinue f(x); il est cependant nécessaire que cette fonction ne devienne pas négative pour les valeurs considérées de la variable x. Cette condition se trouve réalisée dans plusieurs questions des Mathématiques pures et appliqués présentant, à cause de la discontinuité, des difficultés insurmontables pour l'application du calcul différentiel. Pour cette raison les sommes

<a] œ Dai) Suit D ce formées des produits des quantités positives

Fo), Fm), Ts). + (ay) et des différentes puissances des quantités réelles

To, T;; Lo, . na

sont bien dignes d’attention. Nous allons montrer maintenant, comment, en connaissant les valeurs de ces sommes, on peut déterminer la limite inférieure de la plus grande des quantités

Vos Lis Baye dj)

et la limite supérieure de la plus petite de ces quantités.

En supposant données les limites entre lesquelles sont contenues les quantités

Lo; T;;, Las « .. CL CPU

*) Sur les valeurs limites des intégrales. T. IT, pag. 183—185. Sur la représentation des valeurs limites des intégrales par les résidus intégraux. T. II, pag. 421—440. Sur les résidus intégraux qui donnent des valeurs approchées des intégrales. T. II, pag. 443—478. Sur les sommes composées des coéfficients des séries à termes positifs. À la fin du T. II.

dans les sommes n n n Data), Dafa)... Du "fG) 0 - 0

nous ferons voir, comment par les valeurs de ces sommes on peut déterminer les maxima des sommes qu’on obtient par addition des termes de la série |

f(&o), f(&), f(&),. F* (En)

correspondant aux termes consécutifs de la série

Los Up Day Dh)

n’atteignant pas plus ou moins l’une de ses limites. D’après les formules pour ces maxima on obtient facilement les valeurs limites de l’intégrale

fre dx

dans le cas, où l’on connait les valeurs des intégrales

fre dx, Jare dir: [#— f(x) dx,

la fonction f(x) ne devenant pas négative entre x = a et x —b et la quantité w étant supérieure à a et inférieure à b.

$ 2. En posant

Fo) = Yo) f(x) —= Ÿ;;, 1 (a) = Yo; …..) a, D) = Yn 1: dr fa)=0, n f@)=G; Dr fa)=Q.. Da fe)= CG 0 0 0 0

on trouve que les quantités

Los %;, Laye . LENS.

Yor Vis Yasr Un sont liées par Z relations

ñn ñn n (4) Dau=C, D 2,704, DS ant DCE Yi = CG 0 0 0

où, d’après le $ précedent, les quantités PR ne sont pas imaginaires et les quantités % = f(&o), nn — [(&;), Yo (0) .…. Un = TG)

ne sont pas négatives. En développant la somme

> Yi X — Ty

suivant les puissances descendantes de x, on obtient l'égalité

n ñn ñn n n RME RES JL ES 1—1 1 l D — = d Jet Didi + dx, Ut D D PEAR 0 : 0 0 0 0

qui prend, au moyen des équations (4), la forme suivante

ñn 0e G Ci 1 l Sarthe. + Ne 124 x, PE 0 0

Il en résulte clairement que pour satisfaire aux équations (4) par des

valeurs de mt Tiusoadi

Yo Yi Yas* is Vs

il est nécessaire et suffisant que la somme

soit égale à l'expression

ee au terme contenant — près.

D'autre part, à cause des propriétés indiquées des quantités ASE, HO. ONCE HUE

Yor Yur Vase ee Una la somme

dans l'intervalle de x——co à æ — + 00 devient infinie pour n valeurs

Lo; %;;, La. . Ty)

en passant toujours de — oo à +00, En se servant de la notation de Cauchy *) on obtient

nt T — Xj

En appliquant la méthode de Cauchy pour la détermination de l’indice

É V Yi

dm T — Ti —œ 0

et remarquant que la somme

Te LE — Lj

se réduit à une fraction avec le dénominateur du degré n, on conclut que cet indice pour les limites t——co et 5—co ne peut atteindre la valeur n, égale au degré du dénominateur, que si dans la fraction continue

provenant du développement de cette somme, tous les quotients incomplets

is Br see sont des fonctions linéaires de x avec des coefficients positifs.

Donc la condition nécessaire et suffisante, pour qu'aucune des quantités

Los Lis Laye se Th)

ne fût imaginaire et les quantités

Yo» Yi Ya» - | 8 Pois füssent positives, peut être représenter par l'égalité

Yi de 1 1 1 Dr RP rent - te 1 «x +f arbre, ;

+1 4 T+Pn

*) Journal de l’École Polytechnique. Cahier 25.

réunie avec les inégalités a 70,4 70, 2 æ0...4 79.

Il résulte de ce que nous avons dit plus haut sur les équations (4),

que les quantités

Los %;;, Lo. CE] CL PERTE

Vos Yi Ya» - Lis Un

ne peuvent satisfaire à ces équations que dans le cas, où la fraction con-

tinue

ones 1 A T+8, —

PR | Lo +R, —

A3 THB3 —°. 1

LT TENTE An T+Pn

provenant du développement de la somme

représente l’expression

au terme de l’ordre — près.

Par cette raison, en connaissant le développement de l’expression

en fraction continue

il est facile de déterminer les premiers quotients incomplets de la fraction

continue

re 1 :

PE v VEN PRET nn AU ME OS Lo À + Po TB, 1

Ten 8 hr?

qui résulte du développement de la somme

ñn a N Yi ,

dm À — Xj

si les quantités Los Lis Dose ee Tn 9

Yor Vis Vase Yu)

y contenues, satisfont aux équations (4).

& 3. En désignant par k le nombre entier obtenu par la division de par 2 et arrêtant la fraction continue

Ah IRE 1 XL +RBi —

Lo TP. 1

An T+Pn

au quotient incomplet ei, C4

on obtient pour elle l'expression approchée

nes 1 % c+$, —

LoTHBs te, 1 ax & + Êk

Si exacte au terme de l’ordre —> prés.