ARR US 1 ULT+P
LH", 1 Les "rer panne ge An L+Pn
égale à la somme
les quantités
Los Li, Laye Dh);
Yo: Yi: Yo ne Uni
satisfaisant aux équations (4). Mais pour qu'aucune des quantités
Los Li, Day A;
ne fût imaginaire et que toutes les quantités
Yor Yis Yare Un
füssent positives, il faut et il suffit, comme nous avons vu ($ 2), que les
quantités
Œs COPIES a,
soient plus grandes que zéro.
En parlant des solutions des équations (5), nous avons supposé que
la fraction continue QU T+ Bi —
La, —°. : 1 6 Es En T + TU provenant du développement de la somme
ie LT — %j
contient le quotient incomplet
a, x +$,, pour ? pair = 2k, et le quotient incomplet
Age © Ppesr
pour ? impair = 24% + 1. Puisque le nombre des équations (4) est /, égal à 2k ou 2k + 1, et le nombre des inconnues |
Lo» %;, Los. . LR
Yor Vis Vase Ya
est 2», cette condition a toujours lieu, si /, le nombre des équations (4), ne surpasse pas 2», le nombre des inconnues y contenues.
Dans le cas contraire ces équations ne sont possibles que si les valeurs CRE layers,
satisfont aux certaines conditions. Pour déduire ces conditions et indiquer les singularités que présentent dans ce cas les solutions des équations (4), nous remarquons que, d’après le $ 2, ces équations étant satisfaites, la frac-
tion continue MT Det, 1 An T+PBn .
provenant du développement de la somme
n Su.
LT — Li
doit produire l’expression
‘ ; exacte jusqu’au terme de l’ordre —- inclusivement. HA
Cela n’est possible pour n < + que si l’expression ci-dessus est développable en fraction continue
uT+b, —
Lo LHo—°., +
Je Ë En THBn— gUEI Ut r.4
la quantité gd" *1 étant du degré supérieur à /— 2n. C’est précisément la condition de possibilité des équations (4) pour / > 2n. Puisque dans ce cas se déterminent complètement et le nombre », et les quotients incomplets
a z+h,, Tr f,...., a, +,
de la fraction continue provenant du développement de la somme
NV it <m T — 2%; n
les équations (4) auront une solution unique. Dans tout autre cas ces équations, si elles sont possibles, admettent une infinité de solutions se distinguant et par le nombre des inconnus
Lo X;;, PTE PRRT
Yo» Yi Ya Fe EE
et par les limites entre lesquelles les quantités
Lo Lise LA] Zn:
sont contenues.
$ 5. En supposant les quantités
Lo) T,, Lys . + 7
rangées dans l’ordre croissant, nous indiquerons maintenant, de quelle manière on obtient les solutions des équations (4), dans lesquelles x, a la plus grande valeur ou æ,, la plus petite valeur.
En désignant par
10) 920), ,,,, Pa) (x) Ÿ2(x) d Ÿn (x)
les réduites qu’on obtient en arrêtant la fraction continue
CR PA ES PR RP 1 ax <+h es 1
An THPn —*. ù
au l-er, 2-me, 3-me....,»-me,.... quotient incomplet, on aura
Pn (&) __ 1 Yn(&) uTz+B —
La+bo—e.. 1
Om mm @ AnT—+Pn
Par cette raison, les équations (4) à 2» inconnues
To, %;, COTE . l,;)
Vos Vis Vase Yon étant résolues, l’équation ñn
NT Yi ___?n(r) (6) æ 4 — Pn@) sera satisfaite d’après le $ 2.
Il en résulte que dans cette solution les inconnues
Lo) %;;, Lo, . L,;
sont racines de l’équation Ÿ, (&) = 0;
par conséquent la moindre racine de cette équation donne la valeur de x, et la plus grande celle de x,,. Pour obtenir les conditions dans lesquelles
atteint la plus grande valeur ou x,, la plas petite, nous remarquons que, d’après les propriétés des réduites, les fonctions
Ÿ, (æ), Ÿa (x), . mins AE (x), pe (x), . fées dans le cas considéré, sont déterminées par les équations
Le) = (0 2 +) di G@)— 1,
GE 4,@=(R,r+8,) 4, (4, ,(@) (7) ‘ Vm + (x) ER a, tr ni Un (x) a (x),
et d’après le $ 2on a (8) RIM 0 same 0, > 0.
La première de ces équations fait voir que l’équation
: ÿ, (x) = 0 a une solution HA mned Bi.
on obtient
Mais en posant consécutivement T— — ©, L—= + 00, et remarquant que d’après les conditions (8)
ra rUv, on trouve
L (— ©) = +, L (+ co) = +.
On voit d’après ces valeurs de la fonction 4, (x) pour
T = — CO, g——", LT= + CO %
que x — —à, racine de l’équation
est contenue entre la plus grande et la plus petite racine de l’équation Y (x) = 0.
Pour étendre ce raisonnement à toutes les équations formées au moyen de deux fonctions consécutives de la série
HG), LG... 0), WG) Ymsi@he..., nous allons maintenant démontrer que toutes les racines de l’équation Ÿ,, (&) = 0 sont contenues entre la plus grande et la plus petite racine de l’équation V1 ©) = 0 si cette propriété a lieu par rapport aux équations bn (@=0, ÿ,(&) = 0.
En effet, en désignant par k, la plus petite racine de l’équation Yn (&) = 0,
et par X la plus grande racine et supposant démontré que toutes les racines de l’équation
Pr @&) = 0 sont contenues entre la plus petite et la plus grande racine de l’équation on remarque que l’équation
Yan — () = 0 ne contient pas de racines ni entre 4——0oo, 4—=h,, ni entre 4—<+0o,
x —h et que par conséquent les valeurs
Ya —1 (ko), Un —1 (2)
sont de même signe que
RS (— co), Vie (co).
Cela etant, de l’équation (7), en y posant successivement
th; Leh,
et remarquant que | | Ln (ko) 7 0, Un (2) = 0,
d’après la définition des quantités h, et k, on trouvera les valeurs de
Yom -rr Vio)s Yi -+x ()
avec des signes contraires à ceux de
de. Fes co), | sn (co).
Puisque ces quantités, d’après les relations (6), (7), (8), ont les mêmes signes que les quantités |
SE So co), AP (co),
on conclut que dans l’hypothèse admise la fonction 4, ,,(x) change son signe entre t——co et æ—h,, ainsi que dans l'intervalle = et æ — co; par conséquent, l’équation
Yn 1 @) = 0 | a une racine inférieure à *, la plus petite racine de l’équation Yn (&) = 0,
et une racine supérieure à , la plus grande racine de cette dernière équation. Il en résulte que toutes les racines de l’équation
sont contenues entre la plus petite et la plus grande racine de l’équation Un Hi (x) ms 0,
si cette propriété a lieu par rapport aux équations
Vis (x) = 0, (2 (œ) =:0.
Cela posé, en passant successivement des équations h@)=0, L@)—0
Le (x) — 0, Ÿ (x) = 0, Ÿs (x) = 0, (A (x) = 0,
aux équations
on remarque que généralement avec l'augmentation de l'indice v la plus petite racine de l’équation L LES | Ÿ, (@) = 0
diminue et la plus grande racine augmente.
$ 6. Cette propriété de l’équation d, (&) = 0
permet sans difficulté d’indiquer la condition dans laquelle, en résolvant les équations (4), on obtient la plus petite valeur pour x, , ou la plus grande valeur pour %,.
Nous avons vu ($ 3) que dans la résolution des équations (4) il est nécessaire de distinguer deux cas: le cas de Z pair et celui de Z impair. Dans le cas de / pair, en posant /—2#, nous avons montré que les 80lutions des équations (4) résultent de l’égalité
ñn (9) D EE 0 EN UE TH te, 1
Te An TX +Bn
où les # premiers quotients incomplets an, rh... me
sont les mêmes qu’on obtient en dévéloppant l’expression
DAS x x? a3 xl en fraction continue AAFMSSLREN— 1
par x + By”
le nombre des autres quotients incomplets et leurs valeurs restant arbitraires; d’après le $ 2 il est cependant nécessaire que tous les quotients incomplets soient des fonctions linéaires en x, aux coefficients de x positifs.
Il en résulte que dans le cas considéré le nombre » ne peut pas être inférieur à k.
Puisque d’après le $ 3 la quantité x, est la plus petite racine de l’équation
et x,, la plus grande racine, et puisque, comme nous l’avons démontré tout à l'heure, x, diminue et æ,, augmente, lorsque n augmente, on obtient la solution des équations (4), où x, a la plus grande valeur et x,. a la plus petite valeur, en admettant que # a la plus petite valeur possible, qui est égale à k, comme nous l’avons vu. Cela posé, en désignant par M, la plus petite racine de l’équation
et par JM la plus grande racine, on a dans les solutions considérées des équations (4) Fe .
TM, 4,, > M, quel que soit le nombre ».
En passant au cas de / impair, on remarque, d’après le $ 3, que pour 1— 2% +1 la fraction continue, servant à obtenir les solutions des équations (4), ne peut pas être arrêtée au quotient incomplet
Pour cette raison, d’après ce que nous avons dit sur la détermination des quantités
Lo) Th
et sur la variation des racines limites de l’équation
quand # augmente, dans le cas considéré, où n > %, auront lieu les inégalités «
AOC AEE, 2. > M.
Il est facile de démontrer en outre que pour /—2k+ 1 les quautités 4, æ,, satisfont à l'inégalité
(10) 1 V1 (&n—1) ki (to) æ. <0.
En—1 — Lo Ÿk (&n—1) Ÿx (to)
Pour cela remarquons que d’après le $ 5 pour n>k+1 ni l’équation
dr (= 0 ni l’équation Aa n’ont pas de racines hors des limites des racines de l'équation db, (æ) = 0.
Puisque la plus petite racine de cette équation est x, et la plus grande les équations
Th: ?
Ve (x) di 0, Ÿ (x) = 0
n’ont pas de racines nientre æ— — co, 5—%,, ni entre 4—%,,, %—00; par conséquent, la fraction
- Ÿks1 (&)
Ya (æ)
TL —= ZT, TX:
a les mêmes signes que pour
