ENS

les réduites de l’expression

développée en fraction continue

dnstie À Ca T+8, —

Lo @ + PB; —* .

par M, la plus petite racine de l’équation

et par M la plus grande racine, nous avons démontré que les équations (4) ne peuvent être satisfaites que dans le cas, où

(14) PE Mo 2, > M. :

Puisque la somme

| + « > 3 2 2 2 2 u; FT Mour T9 + u ares te

à qg+2 g+3 pa g+ pour g < 5,, contient le terme W sn

et la somme

al

2,2 2 2 2 UP = US HU HU +... + doi

pour g, > & contient le terme so »

et ces termes, d’après (11), sont égaux à y,., %, quantités que nous avons supposées supérieures à zéro, les sommes

< Êur Sue q+1 0

ne peuvent se reduire à zéro que dans le cas

OZ Sur DS 80 ce qui suppose . 292 88m êq < 850:

parce que les quantités

0» 2; PTE Er En

forment une série croissante.

En remplaçant, d’après (12), les quantités

Zsn 1r #80 par |

n—1? Lo,

nous réduisons ces relations à la forme suivante

: 82 Ty) 2 < Lo et d’après (14) on aura 242 M, 4 SM.

Donc les sommes

4 du, 2 2 … " 7 x E q+1 0

surpassent le zéro, si 2q < M, > M,

et par conséquent, d’après les égalités

ge à p = 2 2 = nu?

0 0 qg+1

Se SE 2 :- 2 Div Diner DM:

Qi 0 0

pour ces valeurs de z4, 4, les sommes

LT LT 2 2 Su Ÿ 0 En ne peuvent pas atteindre leur limite cp ; 2

Maintenant nous allons nous occuper de la détermination de la limite supérieure des sommes

g+1 ge.

ù 2 2 0 di

lorsqu’elles restent inférieures à la somme

S- * 2 > ue.

Ces limites diffèrent plus ou moins de cette dernière somme selon les valeurs 2g»r @ des termes de la série 203 ê,) Zgse Zn?

correspondants aux termes 2 2 Was Wa de la série

ET Et 87 2 Uo » U'; Ug yes 0

lesquels avec les valeurs Us on

représentent les termes-limites des sommes considérées. Nous désignerons les valeurs des termes 24, 49,, par v, w, en posant (15) 2 =, 8g =; nous poserons en même temps (15) 4— 4, 2, ,—=b,

a et b étant des quantités données. Pour la possibilité des équations (4) et (12) dans les conditions posées il faut que les quantités «, b, comme limites entre lesquelles sont contenues les quantités

Lo, Di, Dose Dp j) satisfassent aux inégalités a<M,, b>M;

mais les quantités v, w, étant, d’après (15), contenues dans la série

CARCELAEEEE EE

ne peuvent pas sortir hors des limites z, = a et 2, = 0. $ 8. Pour obtenir la limite supérieure de la somme

g+1 21H33 2 2 2 > UE = UD HU HU He HU dans les conditions supposées, nous chercherons, parmi tous les systèmes de

quantités

Uor Us Ugyeo sou ;)

Toy is Égye 0 ee Ep)

satisfaisant aux équations (13) et aux conditions

Lo LA Léa Le se Las

celui pour lequel la somme

> 2,2 2 2 2 Uy —=Ug FU + U om nt

atteint la plus grande valeur. Dans cette recherche nous ne ferons aucune hypothèse particulière sur les nombres », g; ces nombres, comme nous verrons, se déterminent complètement dans la recherche du maximum de la somme 2 2 2 13 07 mi le mi un nn PT si seulement dans la série 2 2 2 2 Uo ; Us Use Û tous les termes 2 2 2 Ur Use No diffèrent de zéro. Cette condition peut être toujours réalisée dans la formation de la série

2 2 2 Uos Us Use Yo us

comme cela est indiqué dans le $ 7. De cette manière on éloigne la possibilité d'augmenter infiniment les nombres p, q en ajoutant à cette série les termes égaux à zéro.

Pour obtenir la plus grande valeur de la somme

q+-1 Dr 2 2 2 dans les conditions supposées, appliquons la méthode connue pour la recherche du maximum relatif et remarquons que les inconnues

Uo; U;, Us . 5 4; VU: 69 9 p—1 15 À & & 4 12 2." qg—1? g#1?° °°° p—2 et les données

Co Ci; Ci, .… 0,

= V, Z — bd