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sont liées par / équations (13). En introduisant / quantités auxiliaires À; Ah My: . À;

et posant pour abrégé

? p h. | REA \ Fr 1—1,,9__ 0 0 0

on obtient pour la détermination des quantités

VU) U;,se . °Uo) Uorir: .. Un)

donnant le maximum cherché, les équations suivantes

08, LISA 082 se ou À duo À Tu Fr 4e ae TR L, do CA LE 0, 089 ISA ô$. 08 0X A0 du À du Du ce PAT À + 4, k Fc 0, 089 08; 08, 0Sy 1 0X À CYA À Ôz À Mes ki de, GA 0, oS, 08 OS. CIS) oX À à À : À : FA ie FRS 0 0 deg —i 1 091 2 027 — 1 dEg—1 081 ; À Se À, 2 2 LE +. PE 7 Eae . 1 — re :

g+1 g+1 g+1 g+1 g+1 Ô X Ô © À 5 2. À 5 +... +, En Ô - 0; Zp—2 Ep—2 2p—2 T1 0h 2 Zp—2

mais au moyen des équations (16) on trouve

De = NU, pour n—=0, 1, 2,.....1—1,

Due = 245 0, pour n—=0, 1,2,..../—1, i—0, 1,2,....p—1, ox :

us = 205) pour i=0, 1 Po PRE: à

Ou —=V, Dour 1=qg+l, g+2,....p— 1,

2m 0 pour 2=1, 2,....9—1,9+1,q+2,....p—- 2; donc les équations qu’on vient d’écrire prennent la forme suivante

1 °# pour :

i—0, 1, 2,....Q, 2 ++ et... + 47) u,—=0, pour i=g+1,9+2,....p—1, et enfin (A +2, 2,+....+(—1)2,, 477) u2—0, pour vire

ce qu’on peut abréger de la manière suivante 2 (0(4)—1)u,=0, pour i—0, 1, 2,....q, 20 (z)u,—=0, pour i=g+1l,qg—+2,....p—1, 0'(s)u/=0, pour i=1, 2,....9—1, 9#+1,....p—02,

en désignant par @(z,) la fonction entière

GT 0x, #14, 4 +R + 2 +

Supposant, comme nous l’avons fait ci-dessus, qu'aucune des quantités U,, Use . 4

n’est égale à zéro, et supprimant 2u, et w°, on déduit de ces équations 0 (&)—1—=0, pour i= 1, 2,....q, | 0 (2)=0, pour i=q+ 1, te. ...P—2, d'(2)—0, pour i=1, 2,....q—1,qg+1,....p—2.

Mais dans le cas à — 0 ou è —p — 1, quand «, peut être nulle, ces équations donnent | [8 G@)—1]%—=0, 0(2,,)u, ,=0.

DIT Il en résulte que .

0 (&) —1=0, si % est différente de zéro, et | 0 (e, ei) ss 0;

si 4,, est différente de zéro.

$ 9. Au moyen des égalités obtenues on peut indiquer, comment la limite inférieure du nombre des racines de l’équation

dépend du nombre », ce qui donne le moyen d’obtenir la limite supérieure de ce nombre.

Remarquons pour cela que, d’après le $ 8, les équations 0 (2) —1—=0, 9 (2) =0, outre les racines égales à

CR Zoe . TE

TRE peuvent avoir des racines égales à

Pour embrasser tous les cas possibles, nous désignerons par os le nombre

1 ou 0, suivant que l’équation 0 (4) —1—=0

a une racine égale à z, ou non, et par o, le nombre 1 ou O0, suivant que l’équation | 0 (2 =0

est satisfaite par z —2,, Ou non. Au moyen des quantités o, o, le nombre

des différentes racines de l’équation

O0 (2) —1—=0, contenues dans la série ; : Zos &; Base. +2q; s’exprime par la somme - :

et le nombre des différentes racines de l’équation 0 (2) = 0, contenues dans la série Zq+1s Êg+2 + «ee Ep—as Êp—1)

s'exprime par la somme (D==2 0) #43.

En remarquant que la dérivée 4’ (2) doit se réduire à zéro entre deux racines consécutives de l’une et de l’autre équation, on conclut que dans les intervalles entre deux termes des séries

20) 2 CPTE . e 2q;

on aura au Moins

différentes racines de l’équation 9 (2) = 0.

Puisque, d’après le $ 8, à cette équation satisfont encore p — 3 quan-

tités

29 Zap eo 8; Zoyar ee p—2?

elle doit avoir au moins DpD+o+o—4+p—3—2p+0+0—7

racines différentes, et par conséquent son degré ne peut pas être inférieur à ce nombre, ce qui d’après (17) suppose

1—2S 2p+o+o —7; il en résulte

(18) 2p Ll—o—0, +5,

p étant, d’après notre notation, le nombre des quantités Bo 21 22e. AT

pour lesquelles on obtient le maximum cherché de la somme

q+1 pe. U, les nombres o, o, signifiant 1 ou O, suivant que z —#, satisfait à l’équation 0 ( —1—=0, etz—2,, à l’équation

ou non. Puisque d’après le $ 8 l'égalité 0 (&)—1=0.

peut ne pas avoir lieu que dans le cas #, — 0, et l’égalité

0 (z “ee, = Ÿ dans le cas #,,—0, on conclut que l'égalité ss 0 suppose Uo = 0, et l'égalité , = 0 suppose ra U,,= 0

D’après la formule (18), en cou par le symbole Æ la prés entière de la fraction, on trouve

= nl—-c—c+5 D<£E TPS

Cette formule détermine la limite supérieure de », du nombre d’inconnues

Vo; W;, Use +. U,;.

Puisque le cas de p plus grand comprend tous les cas où p a une valeur plus petite, nous supposerons que p ait la plus grande valeur possible, donnée par la formule | |

$ 10. En s’arrêtant au cas de Z pair et posant / — 24, on trouve d’après la formule (19)

(20) p=E P=srsier,

les nombres 6, o, ayant, comme nous avons vu, les valeurs 0, 1. En supposant 5 — 0, o, — 0, on obtient d’après cette formule

mais, d’après ce que nous avons dit dans le $ 9 sur les égalités s—=0, 5, = 0,

on conclut que dans le cas considéré les quantités %,, ,, s’annullent; par

p—1 conséquent le nombre de termes de la série

différents de zéro, est p—2=k.

Pour cette raison les équations (13), en y supprimant les termes avec

les facteurs w,, ui égals à zéro et en y remplaçant

par Yo) Yi. ee Yu

Los ,. . Ty 19

se réduisent aux équations (4) dont le nombre est »n —%. Pour cette valeur de x ces équations n’ont d’après le $ 5 qu’une solution, dans laquelle

Lo Lis EX à Vinci

satisfont à l’équation b (@) = 0.

En remarquant, d’après la formule (15), que

est une des quantités Lo) T, , . Ty, ,

on conclut que l'hypothèse considérée o= 0, 5, —=0

ne peut avoir lieu que dans le cas, lorsque la quantité donnée v est égale à une des racines de l’équation

Dans le cas contraire nous devons chercher la solution de notre problème en faisant d’autres hypothèses sur les nombres 0, o,.

Supposant c—1l,o—=l, on trouve d’après la formule (20)

ER 2 2k + 3

Il en résulte que dans cette hypothèse les équations (13) contiendront

2 (4 + 1) inconnues 20 Zyye os ep)

U5 , U; . … °Uy , par conséquent ces équations, lorsqu'on y remplace

Zoo» 2 e. e 0 0 2%

2 2 2 Vo 2 LA 9 .. Uy par To 9 %; 1 EL] Ty,

Vos Yise + Up

se ramènent aux équations (4) dont le nombre est n—#%+ 1. En résolvant ces équations, d’après le $ 5 on trouve que les quantités

20 — Yo; 2 —= Li. . .8q) —= Lg. . Ep —= Ty

doivent satisfaire à l’équation PR (x) ge 0,

et, puisque d’après le formules (15) et (15) on a

onde b,

cela suppose les égalités

Va (a) == 0, Ya (v) = 0, Win (b) = 0.

Pour indiquer à quoi se réduisent ces égalités, nous y portons l’expression de la fonction 4, , (x) par les fonctions 4, (x) et 4, , (x) qu’on obtient de la formule (7) pour 5» — k. De cette manière on trouve trois équations

(2 1) ; (CA SRE. Me Pris) A (a) mers Ve (a) re 0,

(22) (a, ds Ré B:.,) de 0 Er de (v) = 0,

(23) Cyr 0 + gs) Ya O) — y, (@) = 0.

Il suit de l’équation (22) que

(2 4) CPR re . = ps Ve

En portant cette valeur de $,,. dans les équations (21) et (23) et les resolvant par rapport à «,,,, on obtient deux formules pour la détermination de ce coefficient

dat Yk—a(a) Ÿk1(v)

(25) | Es 0 | dE (a) er to) L RS 0 7 TC)

(26) SE PE Vo fun” VE) Der () :

Il en résulte que l’hypothèse considérée o—1l,o—=1l

ne peut pas avoir lieu, si les deux valeurs de «,,, obtenues par ces formules sont différentes entre elles.

$ 11. Passant à l’hypothèse o—=0, 0, =].

on obtient d’après la formule (20)

ie p=k+.)2; mais il résulte de l'égalité = 0 que ($ 9) Up = 0 Donc pour

le nombre de quantités

Us U Uu

LSr-CP p—1

différentes de zéro est À +1; par conséquent, les équations (13), en y supprimant le terme avec le facteur w,? égal à zéro, ne contiendront que 2 (k +- 1) inconnues HAN PRINT ARR Age ANT PE En posant

2 —= Lo, une CR G) nel ET ce 2,3 = Tps ' n Eee La: 2 d'aite VU — Yo; Va et COCO. = Ness she Vas on ramène ces équations au système (4), dans lequel n—k+1, et par conséquent d’après le $ 5 les quantités

Lo, %, , ... D sont racines de l’équation

Vas (@) = 0 Puisque d’après les formules (15) et (15)°* on a 2q noté ho FT 8h ra b, à cette équation doivent satisfaire les quantités

Z=—=Vv, œ =D, ce qui suppose les égalités

(PR () pure 0, ee. () = 0.

En y portant l'expression de la fonction ,,,(x) par d,(x), 4, (x) donnée par la formule (7) pour m—%k, on obtient les équations identiques aux (22), (23) donnant, comme nous avons vu, pour la détermination des constantes inconnues

Lys CPR )

contenues dans la fonction à, , (x), les formules suivantes

+ fo hd. er] Vi ()

Phi — b—0 | 0) Dee) D Pen Ye) Yi ?

D’après ce que nous avons dit dans le $ 5 et le $ 7, la quantité «,,. doit surpasser zéro et aucune des quantités

2, 9 293 .. 2, ne peut être inférieure à a.

La première condition suppose que la formule obtenue donne

y > 0; de la deuxième condition il résulte que l’équation . (7 (x) 7 0, ayant les racines in 0, n’a pas de racines entre t = — oo et 4 — 4.

Il n’est pas difficile de démontrer que, quand la première condition est remplie, la seconde ne peut avoir lieu que dans le cas

Ÿk4 (a) (a) EUX S Pour démontrer cela, remarquons que d’après la formule (7) dans le cas : Uk 0, la fraction Ve (x) Ÿk (&) a une valeur négative pour æ——co; mais son signe ne peut pas changer entre % — -— co, & — à, Si l’équation Vera (x) = 0 n’a pas de racine inférieure à &, car en même temps d’après le$ 5 l'équation d,(&) = 0

n’a pas non plus de racine inférieure à a.

Donc l'hypothèse considérée sur les nombres 6, o, ne peut avoir lieu que si la condition He <0 est remplie.

En y portant, d’après la formule (7), l'expression de la fonction 4, ,., (x) par (x), L,, (x) et, d’après la formule (24), la valcur de la constante f,,,,

on ramène cette inégalité à la suivante

kite) ŸE (0) due, (20) L'ET — EN -

Puisque v est contenue entre a et b > a, la différence a — v est négative; par conséquent, après avoir divisé la dernière inégalité par a —v, on obtient

En remarquant que le second membre de cette formule a la même valeur que dans l’équation (25), on conclut que l’hypothèse

peut convenir aux demandes de notre problème seulement dans le cas, quand la formule (26) donne pour «,,, une valeur, qui ne serait pas inférieure à celle qu’on obtient par la formule (25).

En considérant de la même manière la solution de notre problème dans l'hypothèse

quand d’après le $ 9

on ramène les équations (13) aux équations (4), en posant = %o, 2 —=L,.... Ent Le RCE SR et PU M EE Di MU. US = Yo. nn = Ypoe En répétant ce que nous avons fait en considérant le cas o—=0, so, =],

nous déduisons que la constante «,,, doit se déterminer par l'équation (25) et qu’elle ne doit pas être inférieure à celle, qu’on obtient par la formule (26).

Il en résulte que l’une des deux hypothèses

peut satisfaire aux demandes de notre problème, suivant que l’équation (25) ou (26) donne la plus grande valeur de «,,,. Dans le cas particulier, quand ces équations donnent la même valeur de a, , ,, les formules, qui déterminent la fonction

Yan (x),

se ramènent à celles que nous avons obtenues en posant

Quant à l'hypothèse aæ+0, a, = 0, 38*

elle n’est possible que si

(@) = 0; sous cette condition les deux équations (25) et (26) donnent dy, —= CO; par conséquent, la fraction continue SR 1 le EE DE 1

De u Ts Lt + kr) se réduit à la fraction

PR AMUUr 1 a THB, —

Go TH —"*. 1

BA Ca x +-By°

servant, d’après ce que nous avons dit, à la solution de notre problème dans l'hypothèse

os 0,:0,=—=0.

$ 12. D’après ce que nous avons démontré sur la détérmination des valeurs de

Bo ie 8

qui donnent le maximum cherché de la somme

Up HU +, . CE

pour ? paire — 24, on voit que, malgré la possibilité de différentes hypothèses sur les nombres 0, o,, ils ne peuvent pas exister deux systèmes différents de valeurs

satisfaisant aux demandes de notre problème.

En remarquant, d’après la forme de la somme

cé 2 2 US HU. HU,

que sous les conditions posées elle doit avoir un maximum, on conclut que ce maximum aura lieu pour les valeurs