X = 0 + UM + HU
et que d’après la formule (15) =?
on obtient que dans le premier cas auront lieu les relations
X=Y+Yht+e... + ns)
et dans le second cas les relations
X=y +FY +... + Ygr Lg =.
En posant dans le premier cas g— 1 —, et dans le second g =, on aura dans les deux cas
(27) X=Y+Yp +... + LU
Pour déterminer les quantités
Yo» Y1»° né Yu
contenues dans cette formule, on remarque que, d’après le $ 5 pour
n —=k+ 1, on aura n
> Yi ss Pk-+1 1 : T — Lj Ÿk-+-1 (©)
y, = En (ci), ê Ÿk-41 (a)
En déterminant par cette formule les quantités
d’où il résulte que
Vos Hire + + Yu
et les portant dans l'égalité X=Y+Yh +... +, on trouve que cette somme se compose des valeurs de la fraction
Pk-er (2) dk @) k-1 (©) pour T— X,, Dis...
racines successives de l’équation Ÿ +1 (x) ne 0,
la plus grande de ces racines æ, d’après la formule (27), étant égale à v, et la plus petite æ, (d’après le $ 8) étant > a; cette somme au moyen du symbole £, introduit par Cauchy, se représente par la formule
D+0 é Pk1 EL
Ya (& a— vw
où &w est une quantité positive infiniment petite *). Ainsi, pour déterminer la valeur du maximum cherché pour ? = 2%, on obtient l'égalité
Pkær (2).
X — È Var ) (æ)
$ 13. Passons au cas de / impaire et Là tas I=2k-1-1; par la formule
(19) on trouve 2k+6—0— 0;
p=E où, comme nous aVOnS Vu,
o=0 ou 1,9, —0 ou 1.
En s’arrêtant à l'hypothèse
on obtient d’après cette formule p—=k+3; d’après ce que nous avons dit dans le $ 9 sur le cas
*) Pour simplifier nos formules nous n’indiquons pas près du signe d: les limites de la
partie imaginaire de æ, comme le faisait Cauchy; dans les questions que nous traitons les parties imaginaires de + sont nulles,
on à 0. Un = Ugo 0.
Pour ces valeurs de P, Uo; Us
après la réduction des termes multipliés par Uy = 0, 0, après le remplacement des inconnues
1 = Us = 0 et
2 2 2 2 2; Tape eee Bque oc pan U, Un, U so par les inconnues
Lo, Dior Vo ass 0e, Yo» LCR PERTEEEEE 7
on ramène les équations (13) aux équations (4), dans lesquelles n = # + 1. Dans la solution de ces équations, comme nous avons démontré dans le $ 5, les quantités
Toy Bises nye ee «y
sont les racines de l’équation Ven (x) n 0,
cette fonction 4,, (x) se détermine, comme nous avons dit dans le $ 4 dans le cas ? — 2% +- 1, par l'égalité
Phi (€) j 1 Ÿk+1 (&) HER +, 1
Qj LT + RTL
a D: Go; RL TE By Xp
sont les mêmes que dans la fraction continue
LRU ne 1 “y +, —
La+Hrh, —°, 1
ape +B —
Up LH...
et y est une constante inconnue, Pour déterminer la quantité y et la fonction Y,,(&) qui contient +, on remarque que la série de quantités
Lo — À, ne Le Pr LM ny 8
contiendra la quantité Toi = 89 | égale à v, d’après la formule (15); par conséquent, l'équation
doit être satisfaite par x — v, ce qui suppose l’égalité
Ve (v) = 0.
Par cette raison, pour déterminer y, on remarque que l’équation (7) pour 8,,,,— y, #— 4 donne
(28) Va = (eg 2 HV) Yi) — Ÿ (@),
ce qui fournit, en vertu de l'égalité qu’on vient d'écrire,
(a, v +) de (v) Ce 7 DS (v) = 0; d’où l’on obtient
Théo n°
En portant cette valeur de y dans la formule (28), on trouve
Ÿk— 1 (v) 29) pu@=[e,(—0) +] (a) — 4, ().
Cette formule donne le premièr membre de l’équation
de. (x) E 0, qui détermine les quantités
Vo — À;; Vi lg;ye pol TOR nie PAL Puisque d’après le $ 7 les quantités
20; Ze . LS
forment une série ascendante, où, d’après la formule (15)bis,
20 ET 0 pes 891 Fe l’hypothèse considérée
est impossible, si l'équation 4, , ,(æ)=0 a une racine hors des limites x—a, x —b; mais cela aura lieu, comme il n’est pas difficile de démontrer, si la
fraction Ÿkys (a) Ÿk (b) Ÿx (a) Ÿx-+-1 (0)
a une valeur positive.
En effet, si toutes les racines de l’équation
(7 (x) a re
sont contenues entre +—@, æ—b, la même propriété a lieu, d’après le $ 5, par rapport à l’équation
; (x (x) = 0; par conséquent, les quantités
ana (a) ; (A (a) ) Ven (b) ? (A (6)
ont les mêmes signes que
Ve (Eu co), Ye (Qs co), Ver (co), ÿ (00),
et, à cause de cela, la fraction Vke1 (— 2) kr (2) dx (—x) . Ÿx (x) doit avoir pour æ — co le même signe que la quantité
Ve (a) YO).
Ve (a) Va: 0)
Mais d’après la formule (7) on voit que cette fraction pour &æ = © se réduit à — 1.
De cette manière nous nous persuadons que pour la possibilité de l'hypothèse
s—0, o, —0 dans la solution de notre problème, il est nécessaire que la fraction
Ÿkyr (a) Ÿx (b) Ve (@) V1 (0)
soit négative.
En y portant l’expression de la fonction 4,, (x) par la formule (29), on trouve que cette fraction est égale à D (0) La, Ÿk 1 (a) x (v) Ÿk (a)
Dei) dk 6) x (v) Ÿ (6)
En décomposant cette expression en deux facteurs
1 Ye (a) Yen ©) à a—v a—vlL vŸx(a) Yx(v) k+1 b—v" 1 Ÿk—1@) Yi ei] + b—v L x(b) ŸE (v) ki
et remarquant que le premier facteur pour a << v <b a une valeur négative, on conclut que l’hypothèse
pour 1—92k—+1
ne peut avoir lieu que dans le cas, où
1 Ÿk—a (a) Yi) ] __ . a—v L Ÿx(a) ÿx (v) ki > 0 1[Ÿki1@) Yen] ÿ b—0 L Ÿx() ÿx (v) h+1
$ 14. En passant à l’hypothèse =], 0, —=l, pour 1—2k+ 1,
on trouve, d’après la formule (19),
Il en résulte que dans le cas considéré les équations (13) contiendront
2 (k+- 2) inconnues 20) Ze. À ss. 2p 3)
