UE SU RE OR ARE

et que ces équations se ramènent aux équations (4), le nombre » étant égal à Æ + 2, si l’on pose

&o —= Lo; BE Pre qe en Thor)

r É RARES AU 2 EL V7 —= Yo) U —= ŸY,. LEE] ‘U, onet LE . NF Ci ent | ST

Mais dans la solution de ces équations, d’après le $ 5, comme nous

avons vu, les inconnues

Lo; V,,. CE Le . Ty

sont les racines de l’équation Ye 4-2 (x) es 0,

la fonction 4,,.,(x) étant le dénominateur de la fraction ordinaire, à laquelle se réduit la fraction continue

RENE tr EE 1 Qy © + Br —

Ua+bo—e.. 1

SRE NE RTRs 1 DR 1 y © + k Bx a OT Te

Dans cette fraction continue les quantités

Un gros Up Ain Pas Pare + + Py

se déterminent d’après le $ 4 par le développement de l’expression

C Ci Ce Ci MS tTAiE- + a en fraction continue 1 1 APFATESIR Se. :

LR te pr TH Pr — +

et Y> Var Ye sont trois constantes inconnues qu’il faut déterminer.

Pour obtenir les équations qui déterminent ces constantes, nous remarquons que parmi les quantités

To —= 5; LT —Z,,....% AT EL nn PSS 9 q

satisfaisant à l’équation

: Vue (x) eu 0, se trouvent les quantités 20) 80 Se PES égales, d’après le $ 7, à a, v, b;

par conséquent, auront lieu les égalités

(30) FRE (a) = 0, Ne (v) = 0, Vide (b) = 0,

où d,,,(x) est la fonction, dont on obtient facilement l’expression par 4, (x) et V,. (x) au moyen de l’équation (7).

En effet, en posant dans cette équation

M == k, : PP — Ÿ:

on trouve

: (PR (&) Le (C7 PRE Ÿ) (A (x) SEE (7 (), -mals en posant

k m—=k +1, Upyo— V1 Bee = Ya on obtient ds (x) eu (V LE Y3) (PER (x) sem Ÿ (x); :

il en résulte après l’élimination de 4, , (x): de (&) = [O1 GA) (x, LE) 1] Le (&) — ("1 L + Ya) Ve (æ). En déterminant par cette formule les valeurs

(A +2 (a), (A +2 (v) ’ Ye 4-2 (b)

et les portant dans les égalités (30), on obtient les trois équations suivantes:

[ni +) mn a+ — 1] pa) —(n a + y) Ye, (a) —0, [CYa 0 + Y2) TRES veT)— 1| We C9 Ent © CR A Y:) (PER (v) = 0, Lin + vs) Co. 0 +) —1] Ye 6) —n 0 + 3) hi, O= 0.

Mais en résolvant ces équations par rapport à

Ys Yi Yo)

on obtient pour la détermination de ces quantités les formules qu’on peut présenter de la manière suivante:

Via @— dep O9 , U—0(@æ—t) Pere Men Ne 7 Dm ?

où 1 [Uk i(a) dei), —a—vL Ÿ#%() Ÿx (v) ahééerià P 1 [Ya(b) Ÿkn V1] —« As b—0 L Ÿx(b) Ÿx (®) 1 [hk1@) ki (a) n=5-sl HO — ho Lin En comparant la dernière formule avec l'inégalité (10) et remarquant que Lo =, %,, —=0, on conclut que 4 Pi <0,

et, à cause de cela, d’après la formule qui détermine la constante y,, cette quantité aura le signe contraire à celui de la quantité p, égale, comme nous avons vu, à la fraction 1 Dkr (a) Ÿk | re a—v L (a) Ÿ (e) ki

Î Der (0) Yi ( ce] LR 5—0 | U@ ÿx (0) PA

En remarquant que y,, étant le coefficient de x dans un des quotients incomplets de la fraction continue résultante du développement de la somme n

Yi ZT — &

doit, d’après le $ 2, avoir une valeur positive, on conclut que pour la possibilité de l’hypothèse considérée

cette fraction doit être inférieure à zéro, ce qui est directement contraire au resultat obtenu dans l’hypothèse

Quant aux hypothèses

o—=0, oc, —=1,

on aura pour ces valeurs de 6, o, et pour /—2k%+-1, d’après la formule (19),

p=E Si k+0.

Il en résulte que dans ces hypothèses les équations (13) contierdront le même nombre d’inconnues que dans l’hypothèse

par conséquent, leurs solutions, si elles sont seulement possibles, s’obtiendront par les formules que nous avons trouvées pour le cas

$ 15. On voit, de ce que nous avons démontré, que dans le cas de / impair ils n’existent pas non plus deux systèmes différents de quantités

satisfaisant aux demandes de notre problème; par conséquent, les valeurs de ces inconnues obtenues par les formules démontrées doivent donner le ma-

ximum cherché de la somme

X = Up HU +... HU.

D’après ces formules, pour /—2k-+-1, la résolution des équations (13)

se ramène, comme nous avons vu, aux équations (4), le nombre » étant égal ou à k+-1, ou à k+2. Le premier casa lieu, si la valeur de la fraction

1 Ÿ&a (a) he (>) | ire a—v L ÿx(a) x (v) ki

1 Ÿx—1 (0) he | ue b—v L Ÿ4(b) Ÿx (®) k+1

est plus grande que zéro, le second cas, si elle est inférieure à zéro. Dans le premier cas on a

Z—= 4, 2 —=L,.... nn NT Bpya — Tps Bio — D,

, D 2 - Ru 2 PES 2 cs (de Vo er À u, —%o,....4, = Hg pus — Vas Wpso = 0;

dans le second

= Lo, À —=L,...: 'inmin/ LE og D , 1)

: Uÿ = Yo, M Yon UM = que ee Up = Ypo où pour n—=k+ 1, de même que pour n=k+ 2, on détermine les quantités

Lo; %,,....% x .Ÿ

qg—1? F5 RAA n—1?

Yo) Yi» alt *Yy—1? Yq? #0 Yn j par l'égalité

n Là Hope Male 1 Cm a+ 0 . 1 8 PRET 2 1 1

Dans cette égalité les quantités

M non D, 0.4 sont égales à celles, qui sont contenues dans la fraction continue