AE AE A

forment une série décroissante, depuis Z, — b jusqu’à Z, — w, on trouve au moyen de cette formule que le maximum cherché se présente à l’aide du

symbole £ de la manière suivante:

SUR LE DÉVELOPPEMENT EN FRACTIONS CON- TINUES DES SÉRIES PROCÉDANT SUIVANT LES PUISSANCES DÉCROISSANTES DE LA VARIABLE.

(TRADUIT PAR R. C. MLODXTETEVSKY.)

(Lu le 13 mai 1892.)

aofennuxé no Hucxodmmumns cmencnAné nepenrennowr.

(paroxenie xr LXXI-uy romy Sanncoxe Huneparopcroëï Axaremin Hayrr, Xi 8.)

een mme

Sur le développement en fractions continues des séries procédant suivant les puissances décroissantes de la variable.

$ 1. D’après ce que nous avons montré au sujet des valeurs limites des intégrales et des sommes *), sous les signes desquelles la fonction inconnue ne devient pas inférieure à zéro, on voit que ces valeurs s’obtiennent au moyen des fractions réduites que l’on obtient en développant la série

en fraction continue.

Les coefficients Cos Cir Case»

dans cette série sont des quantités données, d’après lesquelles on cherche les valeurs limites des intégrales ou des sommes.

Lorsque le nombre des données augmente, la difficulté de déterminer les réduites nécessaires de la série

en la développant en fraction continue, croît rapidement; elle devient même insurmontable si l’on veut avoir des formules générales fournissant les limites cherchées pour un nombre des données arbitrairement grand.

Jusqu'à présent ces formules ne peuvent être trouvées que dans les cas exceptionnels, où, grâce à la forme des coefficients

(2 C, de... rie

*) Sur la représentation des valeurs limites des intégrales par des résidus intégraux. T, II, pag. 421— 440.

Sur les sommes composées des valeurs de monômes simples multipliés par une fonction qui reste toujours positive. T. IT, pag. 561—610.

la série

Co LS DA G + Ge + . ,

x x ÉA appartient au petit nombre des expressions dont les réduites peuvent être obtenues, à l’état actuel de l'Analyse, sans le secours des fractions contipues. Dans chacun de ces ces toutes les réduites de la série

St MS see peuvent être représentées par une formule unique dépendant d’un nombre

cntier positif arbitraire qui est détérminé par le degré du dénominateur. En prenant successivement pour ce nombre

nous trouvons au moyen de cette formule une série de fractions réduites qui peut être prolongée aussi loin qu’on le veut. En supposant que ces réduites, qui s’obtiennent par la formule générale unique, correspondent au cas particulier, où dans la série

les coefficients He ont les valeurs G= Co, GG, Gps...)

nous allons montrer ici, comment on pourra en faire usage pour détérminer les réduites de la série

lorsque les coefficients GG, Ge

diffèrent plus ou moins de c,, Ci, Co...

En nous reportant à ce que nous avons montré sur les fractions continues provenant du développement des séries, qui se présentent dans la recherche des valeurs limites des sommes et des intégrales, nous supposerons que la série

peut être développée en fraction continue L 1 CRE ot id 1 ONE EZ nt arr ARR où , | | n>0e >0, > 0, .

En désignant par

90 (&), Pi @), p2 (x) Led Vo) hi) Ÿ(@)

les réduites, nous observons, d’après ce que nous avons montré dans Le Mémoires cités, que les équations

seront des degrés 1 PAP. PE: ATTDE

que leurs racines seront réelles et qu'entre deux racines successives de l’équation

du, (æ) = 0 se trouvera une racine de l'équation Ya (® = 0

pour toute valeur de n.

Afin de simplifier nos formules, nous nous bornerons à la RER MES A4 que les racines de toutes ces équations sont toutes plus grandes que zéro, comme cela a lieu dans les cas les plus intéressants par leurs applications et comme cela peut être toujours réalisé par un changement convenable de la variable x. Dans cette supposition toutes les racines des équations

ÿ,(&) = 0, Wa (x) = 0, d, (x) = 0,. Fi

auront des valeurs réelles positives, et par suite leurs premiers membres

h (x), ÿ (x), Y (x), es

seront des polynomes à termes alternés dont les premiers termes auront le signe +, puisque dans la fraction continue