UL

Lo + Po —

l’on a, comme nous l’avons dit plus haut,

(1) Rod n 0, à, > 0...

D’après cela, en déterminant les signes des fonctions |

h (x), Ÿ (æ), Va (&), . Fa

nous trouvons que pour toutes les valeurs de #, l’on aura

@) 1" 4,0)>0; —1) 4,(—n>0; (—1) 4,(—oo) > 0.

$ 2. Passant au cas, où les coefficients

‘i RRQ ARE 5 CRT de la série GO , G Co rÉRRE DU FRET diffèrent plus ou moins de

Con Cir Cape nous poserons

CG = Cy — 03 CG=c+e, Gagne en

et nous désignerons par W, W, les fonctions définies par les égalités

Re M RES ; 77 = © € € d'ou il vient GO , © C Co — € , + , Co — 0 ia D Ter AN ne dE = to 10

dont le dénominateur est du degré » (si une telle réduite existe), désignons-la par Oo» (æ).

Vn (x) Puisque, comme nous l’avons dit, les fonctions

L(), Lx), Ye)...

2 dis

sont des degrés .

la fonction Y,, (æ)

sera du meme degré que 4, (x) et par conséquent nous aurons

(4) En E) = 9m Ÿm &) + dm (&),

9, étant une constante différente de zéro et 0,,(x) un polynôme dont le degré ne dépasse pas »#—1. Avec cette décomposition du dénominateur la réduite cherchée prendra la forme

Om (x) à Im Ÿm (€) + Om (&)

En calculant la différence entre cette fraction et la fonction W — Le LŸ nous trouvons qu’elle est égale à l'expression fractionnaire

Wôyn (&) — Qi (&) — (9m mn (©) + 0m (&)) Wo + 9m Ÿm (&) W. Im Ÿm (€) + 0m (&)

Comme le dénominateur est ici du degré "» et que l’expression ellememe, représentant la différence entre la fonction

W— W, et sa réduite

doit être d’un degré inférieur à — 2m», ils’ensuit que le degré du numérateur Won (&) — 0, (&) — (9m Ym (@) + 0 @)) Wo + 9m Ÿm @) W doit être inférieur à — "”; or, pour cela il faut et il suffit que la différence W0,, (x) —Q,, (x) donne l’expression de la fonction

(On Don (0) + On ©) Wo — Im m &) W

exacte jusqu'aux termes en æ ” inclusivement. D’après cela, par les formules énoncées par nous dans une lettre au professeur Braschmann *) et démontrées dans un Mémoire intitulé: Sur le développement des fonctions en séries au moyen des fractions continues **), on peut trouver le développement du polynôme 2,, (x) suivant les fonctions …

Y (æ), UX (x), +. Vi (æ).

En effet, en appliquant les formules obtenues dans le $ 10 du Mé-

moire cité à la détermination du polynôme @,, (x) de degré m— 1 au plus, avec lequel l'expression

+) T. I, pag. 611—614.

**) T, I, pag. 617—656.

Q,,(æ) étant une fonction entière, puisse représenter le plus exactement possible une fonction quelconque F(x) et en supposant que W se développe en fraction continue ;

RES rer 1 Ac+bteo-——#> re ES A2 Br T+ B;3 +: .

dont les réduites soient P 1 F. L P, 3

nous trouvons

(5) 0, @)=4 1,0, —A4L,Q+...—(— 1” De Le PR où

+ FIPÈS JASAERES Fa

designent les coefficients des termes en — dans les produits @ F(x), Q F (x), ra *Qn F(&).

Le polynôme @,, (x) étant déterminé par cette formule et Q,, (x) étant convenablement choisi, l’expression

représentera la fonction F(x) avec la plus grande exactitude qui soit possible lorsque le degré de @,,(m) ne dépasse pas m — 1. Puisque la formule

W0,, (x) — Q,, (x) donne la fonction | F'(x)

au moins jusqu’au terme en & 7” inclusivement et puisque pour tout autre polynôme, dont le degré ne dépasse par m—1, l’exactitude de cette formule ne peut pas atteindre cette limite, nous concluons de ce qui à été dit sur la détermination du polynôme @,, (x) entrant dans l’expression (4) de W'(x) que 0,, (x) doit satisfaire à l'égalité (5) dans le cas, où

(6) F (2) = (9 Yi (&) + On (&)) Wo — 9m Ÿm @) W et | he 1 nr

+ 7% e SL — A,2z+B; Aja+Bs+.e. Lo Æ + Po

Lg THB —*.

On voit de la dernière égalité que l’on a ici A, = 051 mt des AS Guy e c'e

et que les dénominateurs

Q.; Qn Qu +9

des réduites de la fraction continue

A x +- D A ; RC Pa, M7 PEN E :E SEER ont les valeurs

En trouvant d’après cela

ARE FOIE ER que les coefficients A, L,, 4, Li, A, L,,. .

dans l’égalité (5) sont les coefficients de - dans les produits. 4 Yo(x) F(x), —a (x) F(x), —a (x) F(x),..., et qu’ils peuvent par conséquent être représentés par les expressions A L=[aÿ{(e)F(2)],, 4L=—T[ab(e)F(e)], 43L3=— [ast(2)F(2)],,.….,

: se 1 e si nous convenons de désigner le coefficient de — dans le développement

d’une fonction quelconque V suivant les puissances descendantes de z par

En portant dans l’équation (5) ces valeurs des coefficients 4, L,, 4,L,, 4,L,,...

ainsi que les expressions obtenues plus haut pour les fonctions Q,,@,, @s.…., nous trouvons que cette équation devient

Om (&) = Lou Yo (2) F(2)], Lo(r) + Las (2) F2], d, (&) + [as Ya (2) F(2)], W(r) +...+ [a | EE (e) F(2)], LE () 7. [ce V (æ) (A (2)+ a d,(æ) 4, (2) +... .+ay dE (æ) | re (2)) F (2)],,

et, en posant

(7) D(e,8) = on Vo() Yo(e) + a du (2) (e) ++ a, Von: (6) Yes (2),

nous trouvons (8) On =D, (&, 2) F(e)],;

d’où, en y portant l’expression de la fonction F(x) définie par la formule (6), nous obtenons pour détérminer le polynôme cherché ©,, (x) cette équation |

On (2) = | Dan (8) (4 Vi (ED + Gun @)) 5 — 9m Ya D |,

ou bien

On) = 12 (&; 2) (9x Yi (2) + On (2) Wolz — Lim Pi (Es 2) Yi (2) We. Dans cette égalité le produit