WY

d’après la propriété des réduites, ne différera de la fonction entière o,, (4) que par les termes de degrés inférieurs à —#”, tandis que la fonction D (x, 2), d’après (7), est du degré m— 1; donc l'expression

ET 1 ‘ | ne contiendra pas de terme en —; par suite l’on aura

[In Dh (x, 2) (2 (e) W], — 0, et l’équation que nous avons obtenue se réduira à celle-ci

(9) On (x) cas [Dm (æ, 2) (9 (A (2) vs 2 Om (e)) Wo],; où, d’après la formule (7), la fonction ®,, (x, z) est exprimée par

Do(&) V1 (), + » : Yn (&)

sous la forme d’une somme de # termes symétriques par rapport à #, 4 et dont les degrés par rapport à chacune de ces deux variables ne dépassent pas m— 1].

Il n’est pas difficile de trouver l’expression de cette fonction sous la forme d’une fraction très simple ne contenant que V1) Vin @).

Pour cela nous observons que l’équation (7) multipliée par x donne

2D, (@, 2) = œ 20 (2) Vo (2) + 3 24 (0) Ya (8) + + en Drm 1 (©) Vi à (8) Comme les dénominateurs

Dr), W(@), Left) + Ym (hr Ÿm (À)

des réduites de la fraction continue

FRE eee 1 LH, —

THB ar —satisfont aux égalités

Lo(e) = 1, 4, (x) = (a, 2 + B:) Yo (x), V(&) = (a, © + 6) ÿ @)— (x), lies > Yan = (er + Bb) Li (2) . Lu, (©),

d'ou il résulte

a COUR (x) = ÿ (x) — 8 V (x), 24, (2) = Ÿ, (2) — LB Ÿ, (x) + Lo (x),

Ly Dm (æ) EE Ln (x) 10 Br LES (æ) w : (æ); cette équation se réduit à la suivante 2D,, (æ, 2) = [hi (x) — 8, Ÿ (2)] Lo (2) + Lh (e) — Be Ÿ Ce) + (2) d (2) +. ee + [hu (2) — Bon Van à (0) + Yan ©] mn (2):

En calculant de même le produit

2D,, (x, 2), nous trouvons

2D,, (x, 2) = Ch, (2) — B Ê PA (2)] (A (x) + [da (2) — Ba d (2) + L (2)] d, (x) +... + [dm (2) gré | RS (2) he à , PCR (2)] AE (x), -

ce qui, rétranché de l’égalite précédente, donne

(& ass 2) eu (x, 2) — | REC (2) (Un (x) ue Un (2) bn (x).

En divisant par æ—z, nous obtenons pour déterminer la fonction D, (x, 2) la formule

(10) D, (a, à) = Ÿ=1 (0) Von (8) — Van (8) Vm— (9),

$ 3. Passant aux applications des formules que nous venons d'obtenir, nous commencerons par le cas particulier où la série

se réduit à la fraction

ce qui a lieu pour

.! M6.) Mt © —= 7? — 7? x Red : dire

Nous supposerons la quantité 4 toujours positive et 77 quelconque. En posant dans ce cas particulier dans la formule (9)

ADS

nous obtenons pour déterminer le polynôme @,, (x) l'équation

On (x) a 2 (x, 2) (9» Yan (e) + On (2) 55) .

Pour en déduire l’expression du polynôme cherché @,, (x), nous obser-

vons que la fonction In Ym (2) + 0m (2) H(s+h ?

après que l’on en a retranché la partie entière p

Im Ÿm (2) + + On (2) — Jin Ÿm (= — h) — 0 (— h) H(e+h) ?

qui n’influe pas sur la quantité [,, (x, 2) (9 D (2) + 0n ©) rm le se réduit à la fraction

: Jm Ÿm (— HEIN EEN H(2+h)

ce qui donne

(] mm) + 0m (— 2h) TOmn(e [S, (x, à) Im Lu É 5" (2) = a | m | u m(— À) nee).

Si de même nous retranchons ici de la fonction

Dm (&, 2) 2+h sa partie entière Don (5) — Dig CE, D), 2+h

nous aurons

—h}+ 0m . LD, (@, 2) (ou bn (2) + Ou (2) prop = D Fm D

D'où, en vertu de l’égalité

2+h il vient

LD, (2, 2) (an bu (2) + On) 7e = D (x, —h}

par suite, l’expression du polynôme @,, (x) que nous venons d’obtenir se réduit à celle-ci

0, (x) PS Yan (— che Om (— À) GB, (x, Fou h).

Nous déterminerons la constante inconnue qui figure dans cette expression de la fonction @,,(x), en observant que pour x = — elle donne l’équation |

On) == D D D (hi, — 7);

d’où l’on obtient

Yan (— h) Dm (= h, — h) On (— D) = 2e à

En posant pour abréger (11) D, —h —h)=14,,

nous avons d’après cette formule

— h) H, 01) = Sn ED) En

et l’expression obtenue pour @,, (x) se réduit à la suivante

(12) 0, () = 2% nel pas A.

En portant cette expression du polynôme 4,,(x) dans l’égalité (4) qui détermine le dénominateur W',, (x) de la réduite Q,, (x)

Win (&) de l’expression

Fe W,,

dont le degré est égal à #, nous trouvons que dans le cas particulier que

nous considérons, où M"

ce dénominateur est détérminé par la formule

; —h) Oyy(e, —h (13) y, (x) =y, de (x) + 2» Ÿm Tree ),

Quant au numérateur Q,, (x) de cette fraction, nous le trouverons en

multipliant W—W, par à, (x) et en négligeant dans le produit les termes de degrés négatifs.

$ 4. Les formules que l’on obtient de cette manière pour V,@), O,, (x)

contiennent le facteur constant g,, qui reste indéterminé, Comme c’est un facteur commun des fonctions

Q,, (x), Yy (x)?

il disparait daus la fraction

il reste done complètement arbitraire, si, en determinant les fonctions

Pr), Q,,(t)

on n’a en vue que de faire approcher le plus possible la fraction Q,, (x)

de la fonction Lies: +)’

comme nous l'avons fait jusqu'ici. Passons maintenant à la supposition que la fraction que nous considérons

Ty (x)

s'obtient du développement de la fonction

ir H(x+h) en fraction continue L. :

Ho US Vu .

où : Qu As 31 sont des fonctions entières.

En désignant par PF, P P

ue | Qo° À @ ses réduites, où

nous observons que parmi elles il doit se trouver une fraction dont le dénominateur est du degré ", si la différence |

n’est pas nulle. En effet, on pourra déterminer ici par la formule (13) un dénominateur du degré "” tel que la fraction

Q,, (x) ; Win (&)

donne l’expression de la fonction

W— H(x+h) à la quantité

inclusivement près, et cela ne peut pas avoir lieu si la fraction

n'appartient pas à la série

des réduites de la fonction à :

| (æ +h)’ obtenues par le développement de cette fonction en fraction continue US 1 q Fes. 2 4 a 43 —

Il en résulte que, le facteur constant g,, étant convenablement choisi dans la formule (13), cette formule fournit la fonction W,, (x) égale à l’un des dénominateurs

Qur Qu ss.

De là, en répétant le même raisonnement après avoir remplacé m par 1, 2,...Mm— 1, nous concluons que, les facteurs UT a - Ld Im? Jun

étant convenablement choisis, la formule (13) fera connaitre les fonctions V@, P@)...,@) Th), qui ont leurs égales dans la série des denominateurs

Q (2 QG: D

lorsque aucune des équations

(15) H=H,; H=b,,.; .H=H, ,, H=H,, n’est satisfaite.

Puisque les degrés de ces dénominateurs forment une série croissante

et que les fonctions V@), FG@)...Yh,@), Fh(),

d’après la formule (13), sont des degrés 1, 2,...Mm—1, M", les deux séries de fonctions ne peuvent coïncider que si l’on a (6) V,@=Q, PQ) = Que. nn @ = mir TO = On:

ces egalités nous serviront à déterminer les facteurs constants

UE Ja hr; T1) T°

qui entrent dans les expressions des fonctions

= Ge —

$ 5. Passant à la détermination de ces facteurs, nous observons que, d’après (14), les égalités (16) ne peuvent avoir lieu que dans le cas, où les quotients incomplets dis Das. AU PA

contiennent æ au premier degré et où, par conséquent, Q, est représenté par la formule A = Pn T + On

Pr 5 étant des constantes. En portant cette expression de q, dans l’équation

Q, . On Qi One)

à laquelle d’après (14) doivent satisfaire les dénominateurs CAES CRE 2 5 nous trouvons pour n < M, la relation

Q, GE Q, (Pa Er 5) ns (4 EUR

qui donne d’après (16)

V'O=T,: (0) Gare) Wie).

Pour en déduire les équations qui déterminent les quantités | Gi Jar + -Jm 1r Im) introduisons-y les expressions ms fonctions V,G@), Y,,@), Y,(@)

que nous tirerons de (13), en y a

D, (æ, ces h), D n— 2 —h), O (@&;, ny h)

par leurs expressions que nous obtiendrons | (10), en y posant m —n, n—1,n—2. Cela nous fournira l’équation

g E (x) 0 Yn—1 (— À) Ÿn (&) — Ÿn (— À) Ÿn—1 @

— 4 (o, Re A (x) nie — D) bn 2(—h) Ÿn 1 (©) Ÿn—1 (-h) eat] on —1 n—]

H — Hh:; æ+ h n—2(— h) Ÿn—3 (Ch) Vn— n—2(— h) Yn— —I, | (e) + Yet . D 2 3 (— h) Ÿ er 2(— à) Ÿ ®;

d’où, en multipliant par æ +, nous déduisons [An Ÿn . — In (67 € + 7) V1 À) + 92 Ÿn 2 @)] +R)

+ 9n RO [he C0) Ya (a) — (7 Ÿ Go]

man Eee (bu TH Sn) [d., ( À: 2. h) RES (æ) fois | HE Cu h) LEO @) )

dns 1 Un ED de I 0

Dans cette formule les fonctions

: PERS (x), | PAP (x), d (x), étant les dénominateurs des réduites

Pn—2(2), Pn—1@), Pn @ Una) Ÿn—1 (x) Ÿn (æ)

de l’expression

sont liées par l'équation

(17) PE) = (y 5 + Bn) Ÿn 1 (@) — Ÿn 2):

Par suite, le facteur qui multiplie x+-h devient par l’elimination de 4, (x)

(@, 99 —Pn In) Ln 1 + nn — nn) Ÿn-1 E) + (One In) Ÿn—2 (E)-

En observant que le produit du premier terme de cette expression par x+h est du degré n+ 1 et que les degrés de tous les autres termes de l'égalité que nous considérons sont inférieurs à +1, nous concluons que cette égalité ne peut avoir lieu que si ce terme disparait et que par conséquent on doit avoir

(18) a, 4 — On In = 0 Cela posé, l’égalité dont ils’agit se réduit à celle-ci: n In— 1 (—h) Ÿn 2(—h [6, In — Tnn-1 — ins = TTu CET 1] œp,. (x) : n In—1 ni Ch eg [9 —9, + nf Te un | nn. (x)

n nr? A nIn—-1 Tn—I1\T n— —h + [A Bugs g,)— #2 ED < x n. as . 1 bn, (&)

. m1 Ÿn—1 (Ch —2 Yn—2 (à) Ÿn—3 (= À cs [r (died Le CnJ er ) + In 2 Ÿ 7 ns . a ( 1 db, (x) In Ÿn (— À) Ÿn—1 (— X) In—2 Ÿ?n—2(— h) — H—H, : (DR (x) Rae AH, Vs (x) = 0.

Pour en chasser les produits

a, (&), fn, (),

nous trouvons d’après (17)

Pin à (x) — Ÿn (Z) — Bn = (@) + bn — (@),

et, en remplaçant n par n — 1,

æŸ 2 (x) = Ÿn—1 (@) — Bn—1 Ÿn—2 (2) + ns (e), n—

(PSE 40*

En portant ces valeurs des produits

dans l’égalité en question nous obtenons

n0nà à (=) V9 (A7 Ÿn (6) — Br V1 (2) Vn-— [8 Inn In —" 7 ins “ | — je ae +

su [an — I + Pn ÊR a gr R)] Ya (&) — Le Sn (x) + bn 3 (x)

n ên — nIn—1Yn— Nn—2 1 + [2 (Be 9— Ga 91) — M | —°n3 ns 7] 4 @)

Sn In--1 Ÿn—a (= À n—2 Yn—2 n—3(—h + [A (9 ,— 0) + Dem 9 2 Ÿ RS a ( 1 db. (&)

n Ÿn (= h) Ÿn—1 (Ah PRE —9(—h 4 In Ÿ Pet 4, (x) —£2 RE ) L, ,(@)=0.

Le premier membre de cette égalité est la somme algébrique des fonctions

(R (x), PE (x), (RER (x), Wu (x),

multipliées par des constantes qui doivent se réduire à zéro pour que cette somme formée des fonctions

Un), Ya) ne) ns @),

n, n—1, n—92, n —3, s’annule identiquement.

de degrés

D'après cela, en rassemblant les termes en

Y (&), gs (x) et en égalant leurs coefficients à zéro, nous obtenons ces deux équations

Bn In Sn In—1 __ Pn In—1 na (— À) Ÿn—2 (— À) In Ÿn (— À) Ÿn—1 (— À)

An an (H— Hn)) De H — Hy <a D In—2 en na Pn In—1 RE (— D In—2 ne (= h) = 0 En—1 an. (Hi) Hé Bas

En y mettant, d’après (18), In In—1

à la place de ?,,, nous avons deux équations qui nous donnent

Ÿn me Ve — h) (9) n me 1 [Br …. Ÿn st 1) ( : Ars mi) (20) fn. HE Mn H=Hyin— Le ns EM

In—2 Que Hp H— Hi; -4 Ÿn— (— h)

Les quantités H

qui y entrent s’obtiendront par la formule (11) pour m—=n,n—1,n—2. En portant dans cette formule l’expression (7) de la fonction

D (x, 2) et en y posant »m —n", nous trouvons que Æ, est déterminé par la formule (21) H,=a4)"(—h)+at (2h) +... Had, (—h).

En remplaçant ici n par n—1, n—2 et en comparant les expressions

de H,, H,,, H,, obtenues de ces formules, nous observons qu’elles satis-

font aux équations s, a De La ra n —1 (—h), dr Ed 7 FRAC Ln de Ce h), | qui donnent 3

an Ÿ” (—t)=H,-H, ;; Un Dans (4) 4H, —-4,,;

n—1 n par conséquent l’expression du rapport

) In—2

se réduit après l’élimination des quantités L Re Gr h), an , pr ce h),

D CR One (EH) (E— En)

à celle qui suit:

En y posant successivement n=M, Mm— 2, m — 4,. ..Mm— 2p + 4

et en multipliant entre elles les égalités résultantes, nous obtenons, les réductions faites,

Gomme (H— Hype (H— Hope Im—2p+2 (A Hp) (4 — Hyp—2) (4 — Hype. .(H— Hyn—2p+-2)

En posant ici m—2p, m—=2p — 1, nous trouvons

Gap (EH Hop) (H— Hop) (H — H3 Ge CE Hop) (A Hp (HA — Hop. (H—H) Jp—1 (EH — Hop) (A — Hyp—4) + (H — H,Ÿ

OS —(H— Hip—1) (H— Hp—3) (4 — Hop: (H— 4)

$ 6. Les quantités g,, 4, qui entrent dans ces formules sont déterminées, d’après (16), par les égalités V@)=Q, Y,(@) = 0; qui donnent d’après (13)

à) ©, (æ,— nd @) + 9 1 Fe = Q,,

—}) O, (&, —h Ga (o) + HACIE = Q,.

En observant que, d’après (7), les degrés des fonctions

(x), dx),

sont inférieurs à ceux de nous concluons de ces égalités

A VA — lim. LÉ | en UE aura lim. LE (x) x = co"

Cela montre que les quantités g,, g, sont égales aux rapports des coefficients des plus hautes puissances de x dans les fonctions

Q, ht), Qu Ÿ:(&),

que nous obtenons, d’après le $ 4, en développant les fonctions

Sais Co C C Wei rs.

DR FAUNE MN De Rte: à ÉRRSS W—W= +++ HG en fractions continues, Comme on à ici =; Li æ à 1 LPS RS 8 Co Co Co x +.

Co C2 — Ci? :

Pet Hx H(H+h) 1 CoH—1 (co H—1}$ (Co H— 1}

Ho H—1)@H—-W-H@QH+h

nous avons dans ce cas d’après nos notations si. PL.

4". @ a co — Les LS Se À ER EL 4, (4) =; hoO=S AE LOS A +...;

Q.— Hz H(c H+h), 0. (Co H — 1} à?

17 co H—1 (co H— 1}? ? LEE

H[(Co Ce — €3?) H— co h?— 20, h — 0] RARE

D'où il vient, d’après ce que nous avons dit sur la détermination de

Ji as 5 di 0 A (Co H— 1}? (Co C2 — 1?) nm Co H—1?. PT Co? H{(co Co — C3?) H — co h? — 20, h—0c,]’

et d’après (21) se H=e Y(— 7) = 3

; ee on He, VC) + 0 D) = +

En tirant de ces dernières égalités

SN 2 ii T à 2 = HF GR+2c h+c= (cc —0c) H,

et en portant ces expressions dans celles de g,, g,, nous aurons

.. H:. . OH ] hTH-H NN" HA-H)

« La LA LA ; g après quoi les formules obtenues au $ précédent pour les rapports ae

donnent

Sr 1 é DA Hip) (A Hyp—3)- ..(H— Es) Jp sg tie Hp) \H — Hip—2) (4 — Hyp—4). .(H — H,) ? A H F — Hop—2) (H — Hp—4) ..(H— =)

PME Hp—1 \H— Hyp—3) (4H — Hyp—s).- (H— H))

Ces formules déterminent les facteurs constants

ir ave 12 qui entrent dans les expressions (13) des fonctions

YV,@), Vi). ..#, (à),

lorsque les réduites Q, (@ (tr) On) Ve) V@) Wné)

de l’expression

se déduisent de son développement en fraction continue

1 be FE PR Rd » 1 PmT+Om —° ce

Jap—1 Hs: sm CA

Quant à la détermination des quotients incomplets de cette fraction, nous tirons de (18) pour »m = 2p, m— 2p — 1

Jap J2p—1

Pap — ap J2p—1? Papa Fap—i RER et il vient de (22) ke (4— Hp} Ê — B,p-3)...(H— H;)(H— 2) Rep ep HE — Hp) A — Hp 9. (— H) H— H})

NE H? (H— H,p—2) Ê — Hp—4). ..(H — H,) (H — 2) Pop—1 HS Lop—i H— Hp (H= rad D PR A:

qui s’obtient de l’égalité (19), en y portant d’après (18) 2 à la place de ë : n et en remplaçant x par ».

In n—1

$ 7. Dans le cas que nous considérons les quantités

PPS PORN - el

sont positives, d’après le $ 1; donc les formules que nous venons d’obtenir donnent, comme on le voit aisément,

nh>0,p>0,...p,4 > 0, si À à une valeur quelconque, négative ou positive, supérieure à FER RES :

En nous bornant à ces valeurs de AH, nous concluons de ce qui a été dit au $ 1 sur les fractions continues dont les quotients ne contiennent que la première puissance de x avec des coefficients positifs, que toutes les racines des équations

sont réelles et qu'entre deux racines voisines de l’une quelconque d’entre

elles Y,(@)= 0

se trouve une racine de l'équation Y,.,(æ) = 0.

On voit de là qu'aucune de ces équations n’aura de racines negatives si

dans la dernière équation Va (x) = 0,

qui, d’après (13) et (10), se réduit à

ch te R He ee (23) ÿ, Go) + PC 9 10) Vin (9) = VD Va) 0,

toutes les racines sont plus grandes que zéro. Pour trouver les conditions sous lesquelles cela à lieu, nous observons que, d’après le $ 1, entre deux racines voisines de l’équation

Un (x) — 0

se trouve toujours une racine de l’équation

pos (x) — 0,

et que par conséquent la fonction d,, (x) doit changer de signe dans cet intervalle; mais comme la fonction 4, (x) s’annule aux extrémités de l’intervalle et que 4,,, (x) change de signe, le premier membre de l'équation (23) change évidemment de signe dans cet intervalle. Il en suit que dans chaque intervalle entre deux racines voisines de l’équation

Un (x) = 0

se trouvera au moins une racine de l’équation (23). Cela posé et eu égard à ce que l’équation

Yn (x) = 0

a m racines qui sont toutes positives d’après le $ 1, nous concluons que l’équation (23) a au moins m—1 racines positives; donc, étant du degré "”, elle ne peut avoir qu’une racine négative. Mais l’équation (23) ne peut pas avoir une seule racine négative, si son premier membre a pour æ — — co le même signe que l’expression

ui et ses PS Un (0) si Yan € Yom ( h) Ÿm (0) 2 Yan ( h) Don O), qui représente sa valeur pour x = 0.

En observant d’après sa composition que pour 3——0 il a le même signe que son terme le plus élevé 4, (x) et que, d’après (2), 4, (— co) et

Y,, (0) ont le même signe, nous concluons que l’équation (23) n’a pas de racine négative, si le des quantités

Vn (0), Un (0) + — Ÿm—1 (= h) Ym (0) — . Ym (— À) Ÿm à (0)

est positif et si, par en a lieu l’inégalité

Comme on a, d’après (2),

tn YmO > 0

et que, d’après (7), (10), la Ru Yon —1 (re h) Ÿn (0) ms Ÿyn Cm h) Ym—1 (0) | h

est égale à la somme

y Yo(— À) V0) + ah (2) (0) +... + a Yom CA) Yon (O) dont tous les termes son positifs d’après (1), (2), on peut diviser cette inégalité par le produit

Yan (— 2h) Yan—a (— R) Ya (0) — Ÿm À) Ÿm—1 O,

Yo (0) h après quoi elle donne, en transportant le premier terme au second membre, 1 __ Ÿm (0) h Er GT EX TC

En observant que, lorsque cette inégalité est satisfaite, a

La (x) + ÿn Ce > Ym—1 (— À) Yan ( ee (— h) Yon () n’aura pas de racines rue nous concluons que pas une seule variation de signes dans l’équation Yan (@) = 0 ne sera perdue par l’addition au premier membre des termes qui forment le

polynôme QC 4) ni) ni @)— Dm (2) Ÿm (), m

multiplié par H—Hy si cette dernière quantité est plus grande que

Ÿm (0) (0) ; h dm) Ÿm— (— X) Ÿm 0) — Ÿm (— À) Ÿm—1 00)

$ 8. En revenant au cas général, lorsque les coefficients

Co» C) Cas LE

de la série

sont complètement indépendants entre eux, nous désignerons par ° Ki"), K;°, E), Le KM) les valeurs absolues des coefficients qui multiplient