M EN" PC D) LM
Hy—— Lim)
er
de là nous trouvons par (39)
(1) LOL, (M) Gun (7) — :
S,M< na s H (20 —— 1{m)
et d’après (30) RM 1 (— 137 Lim) L,(M) 4, (— 2) RET
où U, est, d’après nos notations ($ 9), la valeur absolue de la somme
DMC PE A
En vertu de cette relation ct de l’inégalité (38), d’après laquelle 7, valeur absolue de la somme
DS mi) es, K,
ne dépasse pas ee d LA GS Ym (—1) L : MIT
nous concluons de l’équation (33) que la valeur absolue de Y, ne dépasse
pas la somme
nm]
h—1 L, (mn) +(—1)" 4,,(— 1) 4 .
mo Ho (M7 C 1m)
(— 1} L(m) L,{m) Ÿyn (—h)
qui est égale à = 1 Yu (— 4) Loin)
mn + T— : LA
Il s'ensuit que Y, est contenue entre les limites suivantes
(43) — MENAN MONT RM] ? Am] D D 0 eee
En posant dans ces formules n=Mm—1l, m—2,...1, 0,
nous trouverons les limites entre lesquelles sont contenues les valeurs de
toutes les m inconnues & td; Ti;
qui entrent dans les équations (28); d’où nous concluons que, la condition
EE
étant supposée satisfaite, les équations (28) auront dans le cas que nous traitons des solutions finies, et que par conséquent on pourra trouver le polynôme
,,(T) = 9» Lin (&) + Om @) = = 9 (4, @—(— D" (EE DT a +. ..)]
m—1 m—2 du degré », pour lequel la fraction Ynix) Q,, (x) étant convenablement choisi, donne l’expression de W—m
à Es “ exacte jusqu'aux termes en —;;; inclusivement. En observant que pour que
cela soit ainsi, la fraction Oh (&) Win (x)
doit avoir son égale dans la série des fractions réduites
Oo de l’expression W— W,, obtenues par son développement en fraction continue, nous concluons que si À, satisfait à l'inégalité (42), il doit se trouver dans cette série une fraction dont le dénominateur est du degré ".
En répétant les mêmes raisonnements, après avoir remplacé » par les
nombres
nous arrivons à la conclusion que dans la série
des réduites de l'expression W— W, se trouvent nécessairement des fractions dont les dénominateurs sont des degrés
M, Mm—], M—2...1, si AH, satisfait aux inégalités |
pm] A De ii. |: Rh—1 (44) H>H IE. H > 107;
où, d’après notre notation, LI") ET, is L® sont les limites supérieures des quantités DUR Le,
que nous obtenons des équations (36), en les laissant d’abord sous leur forme actuelle et en remplaçant ensuite le nombre » par m—1, m—2....1.
Puisque ces équations, en y remplaçant » par we, 4 — 1, donnent L =(—1}# [a de (—à) K, G—1)
LED (1y Es: REA CE h) de
(—h) KT...
Gui Vue Be Vus
il en vient LE LED + IT à, 4 (—R) AU,
Mais en observant, d’après (1), (2), que
2,0, (I 4 (D > 0, nous déduisons de cette égalité L, ") n LL mas! à Il en suit que ZW), limite supérieure des quantités
L®;, ER? I), ne peut pas être plus petite que ZW), limite supérieure des quantités
LS 1 Sue re
et que par conséquent on aura LOT De là et considérant que
tr Le pi—1 nb— — Hot La) Pr Di
nous trouvons
qe) A — 1 à RL ha. À L kh—1 7 L ss à
D’après cela les seconds membres des inégalités (44) forment une série
décroissante; donc toutes ces inégalités seront satisfaites lorsque A, satisfait
à la première d’entre elles pm — 1
