VE RE EL A out / PE ut es AE
Or, en remarquant d’après (1), (2) que.
2 2 3. os HU HU + HU, = GC,
YF ErY+t..+Yyr = Ci nous déduisons
2 2 9 St ia CR: [CY GA M M CN nn se Fa?
Yo + Etes EYE Co Yon — Ypo —o— Yy 5 en vertu de quoi l’inégalité (4) donne uv
2 2 es ose ne TR eh Suis Pr. EY, …:
D'où l’on voit que pour 2 LT;;
outre l’inégalité (4), on aura encore
9 Fe 9 Paper 1 Mes ee PS Nes FU, tri,
et à plus forte raison 2 2 2 Un Mgr os HU 2 Mia Pots Vers EVE:
Ce résultat, joint à l’inégalité (5), nous donne le moyen de déterminer les limites entre lesquelles doit rester la somme
2 2 mr Per re
p—1 pour toutes les solutions réelles des équations (1), quelque grand que soit
le nombre des inconnues.
$ 3. D’après ce que nous venons d'établir, les limites de la somme
2 n12 pos en
pour chaque nombre des inconnues dans les équations (1) peuvent être trouvées à l’aide de leur solution correspondant au nombre le plus petit possible des inconnues. Dans le dernier cas, comme nous l’avons déjà dit, les équations (1) se ramènent aux équations (2) qu’on résout aisément à l’aide du développement de l’expression
C CG C Cok—i pda per Ma Ra CR ei Er
en fraction continue. Nous allons maintenant examiner ce que devient cette fraction et les quantités qui en dépendent, lorsqu'on varie, plus ou moins considérablement, les coefficients
oo
Nous profiterons ici du théorème démontré dans notre Mémoire intitulé: Sur le développement en fractions continues des séries procédant suivant les puissances décroissantes de la variable *); et à cet effet nous supposons que toutes les hypothèses de ce théorème sont remplies dans le cas présent, savoir, les suivantes:
1) pour
G= Co AC QG gs eee Op = Cok l'expression
Co CG C2 Cok—1 RD SE
se développe en fraction continue
Nm À A T+$B, —
ae MATE |
*) T, II, pag. 613—666.
où mp0. 2,2» 0,.,..0 0, 2) Les équations
Lo (x) = 0, Ÿ (x) = 0, Ÿ (æ) = 0,.. .Y (&) = 0, formées par les dénominateurs des réduites de cette fraction
e0(2) 910), -Ps() ‘, ., 9e) Yo@) D) PU)" x) n’ont pas de racines négatives.
3) Les quantités Do 0
restent comprises entre les limites
1 h h? h2k—1 et 1 h h?2 h2k—1 PS À 2 eut À +" 1H: AN STATE : 0 ,
où » est une quantité positive quelconque et Æ, une quantité supérieure à
la somme :
F1 ;{& YE(— À) 7 @) pe YO 20
dans laquelle Z® désigne la limite supérieure de la valeur absolue des coef-
ficients du polynome Ve (= D) Pr) — dx (À) Yi (x)
et Z,® son terme constant.
Dans ces hypothèses, comme nous l’avons vu, les équations
ÿ (x) = 0, (x) —0,.. .,(&) = 0, formées par les dénominateurs des réduites
P1(&) Geft) … o(x) Ÿ (x)? de (@&)° Ÿx (x)
æ CG C Cok—1 Ft
de l’expression he EE. +
ont toutes leurs racines réelles et positives.
En désignant par x), x), a 0), ...a0
les racines de l’équation
Y°), y,°), de .y®
par
les quantités
en) em)... 0) dx Go)” dr (m0)? Ÿx (&O%)
et posant (6) CC —E G=ci+e; CC —2s « °. Cor 2k—1 k—1 nous obtenons, d’après ce qui a été dit au $ 1, les équations suivantes:
k k k k (7) > YŸ= C—60, bi = + ES ps Gi y = —e,.….
tr €,
k (oh26—1 ,, (0) .. > (æ, ) Y; FT CT Chi
Or, d’après les limites entre lesquelles doivent être comprises les quantités D D us
et en vertu des équations (6), on voit que les limites supérieures des quantités
sont égales à
1 h h2 h2k—1 FA , H, ; ji ,.<,+ 15: ‘y , et les limites inférieures sont égales à 1 h h?2 h2k—1 me: 0 A : 4 ur” ARR FA ;
En désignant par , / 4 , To ; T; ;, VPECRELT EST 4 1 4 1 ; T, 9 %; 9 Lo , (M | x | EE} les valeurs des inconnues (0) (0 (0) (0) PARUPIE ASE PEL OURS dans les équations (7) correspondant aux valeurs limites e,, e,,e,,...€,7 / , / , Yo > Yi Ya >< 4 YU x 10 1, " (44 4 Yo > Ji Ya see Y y : . 0 0 0) 0 les valeurs respectives des inconnues y, 7°, 7,,...y%, , nous obtenons d’après (7)
k k k ET APRES CR For h ARS 7 PO EU l?
(8) > Yi = — 7 Dinar 2) p=c— pe k
,etpar
- asblabz eo h2k—1 HER PE Ho ?
LES Œ 7... [LADA (9) b47 NU R) x D d'Éct MN - FU dE EPA
k NE 1 72h31
Ces équations jointes aux équations (7) vont nous servir à déterminer le maximum et le minimum de la somme
pour la solution des équations (7) auxquelles se réduisent les équations (2). Et, cette somme-là, comme nous l’avons vu, pour m—%, m—+-1, va nous fournir les limites entre lesquelles reste comprise la somme
2 2 2 3 nn ns Pro PU
pour toutes les solutions réelles des équations (1), quelque grand que soit le nombre des inconnues,
$ 4. Pour trouver le maximum et le minimum de la somme
3 der es 229 k—1?
composée des quantités ÿ°,, ÿ°,41-- 9° données par les équations (7) pour e,, €,, &,...€,,, qui restent entre les limites
1 h 2 heh—1 Ho? H H,° HT et RE AOL ee ARR mal +: OS : UE : 2 CR : us
cherchons la différentielle de la somme
y, + Ps at+...+#,.,
par rapport aux quantités &, €, &,...6,,
En désignant par © un des nombres O, 1, 2,...2%— 1, nous voyons que les équations (7), différentiées par rapport à e., nous donnent les égalités suivantes
D D = 0 M a 1 +Ù 1.y, AU CEE PP = à ) ( t GS 27 00 —0,
S SA op + D G— ny (0220 0,
ge
ps dy) (2,0) +Ù cy (x, ra 0 (à 1),
dé D (7 0) )\ 9-1 sé > (o rt 1)y, (0) (x, OyE = — 0,
Ô o k— —2 dx;0) un (æ x 0)ÿ PR S (2k— 1)y, (x, ()2k 2 = = 0.
En multipliant ces équations par les constantes arbitraires ho; \; LE . +
et les additionnant, nous trouvons
+- be 0 se en ...—+(2%—1)À
+ ES me a
Se ME és (x, 0v2k—2 é e
ce qu’on peut présenter, plus succinctement, comme il suit 2e 0) 0 (x, 0) mx Y ©) g' (x x 0) SE Le Se Un 1) À. à l’aide de la fonction entière 4 (x) définie par l’égalité
0G)=h+Àz+N +... HA NT,
Pour déduire de là l’expression de la dérivée Ô [y(0),, ru CAPES He... yC)x] ?
ds donnons aux constantes arbitraires
de telles valeurs que la fonction O()=hb+AT+NE +... + RE ET
satisfasse aux 24 conditions qui la déterminent complétement
(10) e)=8@) =...=0 (0, )=0, (11) OR) =0(G") —=.:,=s0@; )=0, (12) O(a 0) =0(),,,)=.:.=0{0,:) =
Toutes ces conditions remplies à l’égard de la fonction 9 (x), l'équation obtenue ci-dessus se réduira à l’égalité
