PRE

qui donne l’expression de la dérivée cherchée d’après un des coefficients de la fonction entière |

0) =h+AT+.. : AN PESTE

déterminée par les équations (10), (11), (12)*). Pour déterminer le signe de cette dérivée, défini à l’aide de celui du coefficient À, de la fonction 4(x), remarquons que d’après (10) on satisfait à l’équation

d'(&) = 0 par les X quantités

De plus, on y doit satisfaire par certaines autres quantités situées dans chacun des 4 — 1 intervalles entre

Mo el a,

et dans chacun des # — 1 — 1 intervalles entre 20, a0 , a... ct car d’après (11), (12) on a

0(@®,)= 0 (@°.,,)=0 En Lite 0

En remarquant que le nombre de ces intervalles plus le nombre des quantités

donne la somme 24 — 2, égale au degré de l’équation

d'(x) = 0, nous en concluons que 1) toutes les racines de l’équation

O'(x) = 0 ont de valeurs réelles; 2) toutes ces racines sont simples; 3) k de ces racines sont égales aux quantités

*) Ce polynome 6 (x) peut être présenté par la formule

PO no 1=h

et 4—2 autres sont situées séparément dans chacun des intervalles entre les quantités MS Mie CES

Dur & x Tee

+1? +2) ° D'où l’on voit que l’équation O'(x) = 0 n’aura pas de racines ni hors des limites

com 7e (0 — 70) Dem), Bd ;

ni dans l'intervalle entre 4°,., 2°, et, comme, d’après ce qui à été dit,

LA) Se. 0,

il s’en suit que toutes les racines de cette équation ont de valeurs positives. En s’appuyant sur ce résultat, il n’est pas difficile de déterminer les

signes des coefficients A A ue dans le polynome

0%)=kb+ATt+l +... +2, ,T

De ce que l’équation O'(x) = 0 n’a pas de racines entre — #0) Us LL y TA,

il s’en suit que dans cet intervalle la dérivée 4'(x) ne change pas de signe; de ce que d’après (11), (12) :

le signe constant de 4 (x) dans cet intervalle doit être +. D’où l’on voit que la fonction &'(x), en s’annulant pour æ—2"),,, va nous présenter la variation de signes suivante: — +.

Il en est de même, lorsque x franchit

œ == 20), FAUX ro, e Duel

les racines simples de l’équation 0'(x) = 0,

car dans chacun des intervalles entre ces racines il se trouve une racine

simple de notre équation. On voit de là que, « franchissant 4 —%, la fonction 6’ (x) passe de — à +, et comme l'équation

n’a pas de racines hors des limites =", æ=—%°%, ,, il en résulte que la dérivée 4 (x) reste négative pour toutes les valeurs de x inférieures à æ,°. D'où il suit que la dérivée 4’ (x), pour += 0, a une valeur négative et que la fonction primitive 4 (x) décroît entre x—0,x—x". Et cela, en vertu

des égalités (11) qui donnent Ô (to) ages 0,

ne peut avoir lieu que pour (0) > 0.

Après avoir établi ainsi que 4'(0) << 0, 4(0) > 0, nous en concluons que dans la fonction

O(a) = +hr+ a+. + 21

le premier terme est positif et le deuxième est négatif. Quant à ses autres

termes, leurs signes se déterminent aisément d’après celui de À,, en s’ap-

pyant sur ce fait que toutes les racines de l’équation d'(t)=À +22 +...+(2k— 1) e

comme nous l’avons vu, ont de valeurs positives, et en conséquence la série

95° . ok —1

ne présente que des variations de signes. Nous trouvons ainsi que le coefficient À,, quelque soit s, doit avoir le même signe que (— 1)°.

$ 5. D’après ce que nous venons d'établir à l’égard du signe de À,, l’équation (13) donne pour toutes les valeurs de ©

p] (70) + yo), +...+y des

D'où l’on voit que, lorsque les quantités &,, €,, €,,...e,;, croissent entre les limites considérées

1 h h? n2k—1 — -—-9 —— — —…. mm 4 @ © € ——— H M” H ?

À T'AS Se . RENTE : AE la somme :

(0 (0 per es. y,

diminue; on trouvera donc son minimum entre ces limites pour

FAP sa nr * LR Re re Hot A — Ho? ae): . A dune: AE ou maximum pour sl Re HO EM RER nt

Comme, d’après notre notation ($ 3), Yo Yi he. - Jr donnent les quantités auxquelles se réduisent

Yo, y, AU Se À Lo

ln un sn Été Gr H2 ET He 2 H6°° "ki — H, ?

pour

et U " 14 F 1, S Yo » Vis Va see Y pi ses mêmes quantités pour

h ke? eh —1

nous en déduisons, en vertu de ce qu’on a établi à l’égard du maximum et du minimum de la somme

| "Mu + Me Open po, les inégalités (14) En DOS Pre Et LUE Us ee. PP BRe RL ee EUR (ES) GO UE, ET de ve

En passant aux solutions des équations (1) correspondant au nombre arbitrairement grand des inconnues, posons d’après (6)

der Se AR 7 FRS

Fe

sont des quantités comprises entre les limites indiquées dans le $ 3. Comme, d’après notre notation, pour ces valeurs de

CM ares US on à

sie. she (0) Lee gs (0) ass ge (0) — #{0) Vo —= Lo 3 TT —= 4%, , Vo —= Lo el, —=X k—19

Yo = Yo, = u”, = AA .. Yx — Yo sirt

nous en concluons, d’après le $ 2, que pour 4, < œAd on doit avoir 2 2 2 (0) (o) (0) ner te . +2 y dei 9 FF Pes ane ® +7y k—1)?

et dans le cas z, > æ,% on doit avoir 2 2 3 (0) (0) (0) MeV ones À g RS < Y; CR LS TERRE PE ES Or, en remarquant que pour u—=1#+ 1 l'inégalité (14) donne 0 (0) (0) ! ! !

ÿ ou | im re US | k—1 TFC À buts ’ Yu et pour x = 2 l'inégalité (15) donne 0 0 0 " 4 14 Yi +Ÿ énn hr L “en. < y «+ nm Te sr k—1?

nous en tirons

2 2 2 / Là , u PS DV ha Vis to Yi

pour le cas (16) 7% < ti", et un + < Han to +Y ri pour le cas (17) 2? ne.

Mais, d’après ce qu’on a démontré à la fin du Mémoire mentionnée dans le $ 3, on a dans nos hypothèses, pour chaque },

Or») #0 y).

<a, Da", donc l'inégalité (16) aura lieu necéssairement pour z, <æx,”"; ainsi que l’iné-

galité (17) pour 4, > x;.

Par conséquent nous aurons l’inégalité

Un + War Te ut ps T Yi + Viva PAIN TES Ve toutes les fois que z, < x,” et l'inégalité

9 a 2 1! 1! 4 em SP CC ro <Y +Y Rte ot Li.)

dans le cas z, > Ds.

Ainsi, de la solution des équations (8), (9) aux 2% inconnues on peut déduire les limites supérieure et inférieure de la somme