VS GE + VIS GT — IL

Va Ve) =V{f@r-VT@r—-L

en donnant aux radicaux les valeurs positives.

Sur la généralisation de la formule de M. Catalan et sur une formule arithmétique qui en résulte.

Association française pour l’avancement des sciences. Compte rendu de la 5-me session. Clermont-Ferrand. 1876. Séance du 22 août, p. 114—117. Nouvelle correspondance PAAAmANqUe redigée par Eugène Catalan. T, IT).

M. Catalan vient de faire cette remarque importante que la limite de

la somme

1 1 1 Sur Led e .. TE

pour » — co, qu’on trouve égale à log 2, résulte de l’identité

Pare PE Ne EE DER + 3.5 re On n+1l n +2 ls

On’ facile à vérifier. Cette identité, remarquée par M. Catalan, et qui rend trèsnette la convergence de la somme / RES n +1 n +2 id 2n

vers log 2, quand n croît indéfiniment, mérite d’autant plus d’attention qu’elle peut être facilement généralisée, et donner lieu à une formule arithmétique d’un genre tout nouveau, C’est ce que nous nous proposons de montrer dans cette communication.

En effet, si dans les fractions qui composent le premier membre de

l'identité

1 1 1 1 1 1 AH dome — == + +. +)

LR 5: AuTEs On n +1 n +2 2n

on remplace les unités par les termes d’une série quelconque

U;, Ua) Use.) Un)

on trouve que le second membre se réduit à

Uanr2 , Vents PE Nue! D Vas Mobtihee BE Per Mu D sm, n +1 n+ 2 ne 1 2 ee

D'où il suit qu’en faisant

Ve = Uy Vox

on aura cette identité

Uy __ Us U3 Von __ Une, Mons, Men 9 Vs ts — —— ..