Side MIRE ER M eg "D "1 32 *" On

Passant au cas de n — co, et en observant que, pour cette valeur de n, la somme

u u u on +2 4 on +-4 4 ESS 4 an n +1 n + 2 2n

devient

lim ( +. ….+%) lim w,—4%, 108 2, +... —(t++s+....) où les quantités v,, v,, v,...., sont déterminées par la relation (2) VU, —U,..

Pour montrer le parti qu’on peut tirer de la formule (1), nous poserons

___ E(ax) Ur D 4 9

où a est une quantité positive quelconque, et le signe Æ désigne à l’ordinaire la partie entière de la quantité placée sous ce signe.

Pour cette valeur de #,, nous trouvons, d’après (2),

__ E(ax) E (2ax) __2EÆE (ax) — E (2ax), — æ Ms 2% ?

d’ailleurs la différence 2ÆE (ax) — E (2ax)

se réduit évidemment à O ou à —1, suivant que le nombre Æ (2ax) est pair ou impair; par conséquent, on a

E (2ax)

2E (ax) — E(2ax) = — ©) Ù

et, par suite,

RS 1—(—1) RE 4x

E (2ax)

En portant ces valeurs de w, et v, dans la formule (1), et en observant que pour æ infini

— £ (ax) = —

devient a, on obtient cette formule

a log 2 —*0- #69. 509 . is Ci 4:23 4,8? ...,

qui se réduit à celle-ci:

a log 2 — 1.1 1.2 2: 1.8 1 1 1 Sfr € (1 arr: ES k £ Mais on a 1 1 x.

l+gtait. = il en résulte E (2a) E(4a) E (6a) :

4E(a) — (—1 4E (2a)+(—1 4E (3a)—(—1 a log 2 — 420) = . nt ae A a Le ) — + D’après cette formule nous trouvons E (2a) \E (4a) E (6a) 2? __4E(a)—(—1 4E (2a)1(—1 4E (3a)—(—1) k 4al0g 2—T— @) - D D — + » € —,...

et, en posant ici 4a log 2—T=X,

ce qui suppose

— 24 log 2 ?

nous parvenons à ce développement de la quantité X en série composée de fractions ayant pour dénominateurs 1°, 2?, 32,....

(2 nn) 4E Gr <) de as 1) 24 log 2 24 log 2 A Ë TE 6X + 7?

GX +- 72 E ( ot 4E (2 DE Log 5) + (— 1) ER 02 6X + r?

6X+ 7? E (6 nr 3) en (s 24 log 5) —(— 1)

Sur une transformation de séries numériques.

(Association française pour l’avancement des sciences. Congrés de Paris. Séance du 26 août 1878 Nouvelle correspondance mathématique redigée par Eugène Catalan. T. IV. 1878, p. 305—308).

ee=rtpienmmmns

1. Il y a déjà plus d’un quart de siècle, Alphonse de Polignac et moi, nous avons publié nos recherches sur la Répartition des nombres premiers. Ces recherches diffèrent, essentiellement, de ce qu’on a fait, avant nous, sur le même sujet. Nous avons donné des valeurs limitatives de fonctions dont on n’avait que des valeurs asymptotiques. La base de ces recherches : est une formule qui remplace la somme des logarithmes de tous les nombres entiers (jusqu'à une certaine limite) par des sommes relatives à des nombres premiers. Voici cette formule:

log 2 + log 3 + log 4+...+log(a) —% (a) + (S)+v(s)+. (À)

* Dans le second membre,

<a du Fe

y(2)=0(2)+0(/2)+0(V2)+0(ÿ5) +... ® O(k) désignant, en général, a somme des logarithmes de tous les nombres premiers qui ne surpassent pas k.

La formule (A) diffère essentiellement, nous venons de le dire, de celles que l’on connaissait autrefois. Parmi celles-ci, l’une des plus importantes est la relation

+ 1 1 1 1 pl l+pjtotot...— 1 p * 1 : En 1 FRE (C) a(s pe (een ts)

dont le second membre ne contient que les nombres premiers.

2. En cherchant à rapprocher les formules (A) et (C), je suis parvenu à reconnaitre qu’elles découlent d’une même égalité: log 2.f (2) + log 3.f(3)+ log 4.f (4) + log 5.f (5) +... | D)

— log 2.F(2) + log 3 .F(3) + log 5.F(5) + log 7.F(7) +: ..,

les fonctions f(x), F(x) ayant une relation convenable. Cette relation, très-

F@=D Du”) (Œ) n=1 mx

3. Soit f @)= >; la variable æ et l’exposant p étant supérieurs à

l’unité. Nous aurons

et l'égalité (D) devient (ee) og2 log3 log4 log5 ie [ log 2 log 3 log 5 l0g7 1 AD 0 A nn BR De M 0 CT sd D

(2e) L Li D] # L A 1 Le premier membre est, au signe près, la dérivée de > 6 Par rap-

port à p. Ainsi