Si l’on suppose

pour æ £a, et

pour # > a, nous trouvons que la somme log 2 f(2) + log 3 f(3) + log 4 f(4) +...

se réduit à la somme des logarithmes des nombres 2, 3, 4,.... ÆE(a); et alors notre formule (D) donne la décomposition de cette somme en plusieurs sommes composées des seuls nombres premiers, décomposition qui était la base des recherches faites sur les nombres premiers par A. de Polignac

et moi.

5. En donnant d’autres valeurs à la fonction f(x), on obtient de nouvelles formules, qui peuvent avoir d’utiles applications. On trouve, par exemple, que la somme

ere pet gp ee ie OI Le,

croît indéfiniment, quand c tend vers zéro.

Comme les termes de la série, pour c = 0, se réduisent à 1, selon . que les facteurs correspondants ont la forme 4n + 3 ou la forme 4n + 1, on est conduit à cette conclusion: Z{ y a une différence notable dans la répartition des nombres premiers des deux formes 4n + 3, 4n +- 1: la première forme en contient beaucoup plus que la seconde.

Sur la coupe des vêtements.

(Association française pour l’avancement des sciences. 7 session. Paris. Séance du 28 août 1878).

Après avoir indiqué que l’idée de cette étude lui est venue lors de la communication faite, il y a deux ans, au Congrès de Clermont-Ferrand, par M. Edouard Lucas, sur la géometrie du tissage des étoffes à fils rectilignes, M. Tchébichef pose les principes généraux pour déterminer les courbes suivant lesquelles on doit couper les differents morceaux d’une étoffe, pour en faire une gaine bien ajustée, servant à envelopper un corps de forme quelconque.

En prenant pour point de départ ce principe d’observation que dans la déformation d’un tissu on ne doit considérer d’abord, dans une première approximation, que l’altération des angles respectifs formés par les fils de chaîne et les fils de trame, sans tenir compte de l’allongement des fils, il donne les formules qui permettent de déterminer les contours imposés à deux, trois ou quatre morceaux d’étoffe pour recouvrir la surface d’une sphère, avec la meilleure approximation désirable. M. Tchébichef présente à la section une balle de caoutchouc recouverte d’une étoffe dont les deux morceaux ont été coupés suivant ses indications; il fait observer que le problème différerait essentiellement si l’on remplacait l’étoffe par une peau. D'ailleurs les formules proposées par M. Tchébichef donnent aussi la méthode à suivre pour la juxtaposition des pièces par la couture.

Conformément à la volonté de Tchebychef, l’étude «Sur la coupe des habits» trouvée dans ses papiers ne doit pas être imprimée, car le manuscrit ne porte pas l’inscription: «imprimer».

Sur les parallélogrammes les plus simples symétriques autour d’un axe.

(Association française pour l’avancement des sciences. Congrès de Paris. Séance du 29 août 1878 Ikoxa Maremaruxku uucroï u npnKkiaxxoï 1885).

$ 1. A l'Exposition universelle on peut voir actuellement les différentes applications d’un parallélogramme articulé, que j'ai trouvé d’après un théorème sur les fonctions qui s’approchent le plus de zéro. Ce parallélogramme, ne contenant que trois tiges droites, donne le mouvement rectiligne avec une approximation très-notable, qui surpasse celle qu’on obtient par les parallélogrammes composés des mêmes éléments, c’est-à-dire par le parallélogramme simple de Watt et le mécanisme d’Evans.

$ 2. Ce parallélogramme est composé de deux tiges AC, À,C, d’égale longueur, qui tournent autour de deux points fixes C, C; et sont reliées à leurs bouts 4, À, par une troisième tige AA, (fig. 1). C’est le milieu M de cette dernière tige qui décrit une ligne droite avec une précision considérable, toutes les fois que les longueurs des tiges 4AC, AC et la distance CC, des points fixes C, C, remplissent les conditions suivantes: Es Ci

NX V4 F \ ut Ÿ

1. La distance CC, doit être rigoureusement égalé au tiers de la somme de lignes AC, AA,, AC. |

2. La longueur de la tige AA, doit surpasser le quart de celle des tiges AC, A,C,, mais ne doit pas différer notablement de cette limite. k À mesure que la différence 44, ——+ AC tend vers zéro, la longueur

de la portion sensiblement rectiligne de la courbe décrite par le point M diminue, mais en même temps la rigueur avec laquelle elle représente une ligne droite croît plus rapidement que ne diminue sa longueur.

$ 3. Je vais montrer maintenant les résultats auxquels je suis parvenu en examinant un mécanisme un peu plus compliqué que le précédent. Ce mécanisme est composé des mêmes éléments, cependant le point qui décrit sensiblement une ligne droite ne se trouve plus sur la ligne AA, mais sur une perpendiculaire NM, menée de son milieu (fig. 2). É D'après la méthode que nous venons de C mentionner, on reconnaît que pour la précision du jeu de ce mécanisme, il est indispensable que c— MN ait la valeur suivante:

3 , 2 re (1) CS [S T COS g—a) sin ®—(r cos 9 — a) Va]. Dans cette formule r et a désignent les longueurs des lignes AC—A,0,

et 44,, et o la valeur commune des angles ACC, A,C,C, A, AC, Ne C, dans la position moyenne du mécanisme.

$ 4. Toutes les fois que le lieu du point AZ est choisi conformément à la formule (1) et que la différence

2r cos p — (2) V LT TT er Das 2 sin 9

ne s'éloigne pas trop de zéro, ce mécanisme donne le mouvement rectiligne avec une précision notable. Cette précision croît à mesure que la différence (2) s’approche de zéro, maïs en même temps la longueur de l’arc qui jouit de cette précision diminue.

Dans le cas où l’on a rigoureusement

(3) Va - 2 sinp—0, cette longueur se réduit à zéro, et alors la courbe décrite par le point A a un contact du 5”° ordre avec une ligne droite.

Nous allons nous arrêter sur ce cas-limite, vers lequel converge notre mécanisme à mesure que la précision de son jeu va en augmentant, et dont il diffère peu, si cette précision est suffisante.

$ 5. Pour ce cas-limite, d’après les équations (1), (3), nous trouvons:

2 cos? o cos 29 ds cos? @ cos 29 tang 5?

er cos 39 Un cos 39

En partant de ces valeurs de AA, —a, MN =c et remarquant que l’on a AC = À,C, — +, on trouve au moyen des triangles CDC, et ADA, la formule suivante pour la détermination de CC, = b, à savoir

Le sin? 29 7 cos 39

Ces expressions des quantités a, b, c ne changent de signe que pour les valeurs de l’angle © qui annulent :

sin 29, cos 2œ, sin 39, cos 39 et qui seront ; 07/30. 49, 00-907,

à HE re .

As==

é c, d’où il suit que notre mécanisme ne peut changer d’aspect entre les limites indiquées, c. à d.

de o— 0° jusqu’à p— 30°; de o—45° jusqu’à o — 60°; » p—=30, » p—45%; » p—60 » p—90°.

Pour rendre bien compte de toutes les modifications que ce mécanisme

peut subir, nous avons calculé, d’après les formules précédentes, les éléments pour quatre valeurs de o, prises à égales distances de ces limites, savoir:

Les figures (3), (4), (5), (6) représentent notre mécanisme avec les éléments qu’on trouve comme nous le venons de dire, et en prenant r égal à 0.05 mètre.

Toutes ces modifications donnent le mouvement rectiligne avec le même degré de précision; notamment la courbe décrite par le point A a toujours un contact du 5° ordre avec une ligne droite. Sous ce rapport, toutes ces modifications sont également bonnes; mais on remarque une grande diffèrence entre elles, quand on passe au cas où l’on cherche à obtenir le mouvement rectiligne pour une course plus ou moins grande.

$ 6. Dans le cas où la différence 2r cos o — a + VS pr 2 sin 29, ne se réduit pas à zéro, mais en diffère peu, le mécanisme articulé, pour lequel c a la valeur (1), donne le mouvement rectiligne avec une grande pré-

cision, et cette précision aura lieu le long d’une courbe d’une certaine longueur. La détermination de la longueur de cette courbe se fera de la ma-

nière suivante. En posant 27 COS p— a __ V T COBP—& T,

et en désignant par é celle des racines de l’équation 2 sin o (1+é)+t(3+)—(1— À) T=0, qui se rapproche le plus de 0, on cherche l’angle «, d’après la formule

2 (1— T°? ( 1 + 2t sin 9 +? Ÿ— 1 |.

OS ler || ST sm o+ 75

Cet angle, pris avec les signes + et —, donne les inclinaisons-limites de la ligne A4, sur la ligne CC, pour le commencement et pour la fin de la course en question. Ayant trouvé l’angle «,, nous aurons la ns) ee la course cherchée par la formule

(4) 7207?) FT—sine , 2(1+ 9% sin o + t?) Ge ges à RE Pa (1 —#}

t ] r Sin &,.

Le long de toute cette course, les écarts de la courbe tracées par le point M d’une droite restent comprises entre + Æ et —Æ, la valeur Æ étant déterminée par la relation

5 peer 2r (1+ 2é sin o+12) t3 ( ) : (2 sin o + 36 +- 21? sin p+ 8

$ 7. Dans le cas où l’on se propose d'obtenir une précision et une course préalablement données, on prendra pour &, r, ®, c des valeurs qui satisfont aux équations (1), (4), (5), et dans fesqrielles 1, E doivent avoir

des valeurs données. Comme l’on doit verifier seulement trois équations, on pourra choisir l’angle o à volonté. Dans ce cas, en donnant à l’angle les valeurs que nous avons indiquées ci-dessus, on aura les quatre formes différentes du mécanisme que nous avons déjà vues. Toutes ces formes jouiront de la même précision le long de la même course; mais elles différeront notablement entre elles par la longueur de leurs éléments et par leur disposition.

$ 8. Pour comparer entre elles ces quatre modifications, nous allons chercher les expressions approximatives de leurs éléments, en supposant

que le rapport = a une valeur très-petite, ce qui a lieu toujours dans les mécanismes à grande précision.

En cherchant, dans cette hypothèse, le développement de r, a, b, c en

série, on trouve que ces développements, arrêtés aux premiers termes, donnent:

__Tcos 39 À 2 cos 39 E.

7 8 sin 29 cos @. cos8 29 E ?

a—= 1e? P/Zcos3 1, 7 4 tang 29 cos ? . cosi 29 E ?

p— — lin 29 S/ 2cos39 1.

RE cos ® . coss 29 E ?

ç — !.c08? p. tang 39 | 2 cos 39 8 tang 29 cos ®.cos$ 29 E *

Les figures (7), (8), (9), (10) représentent les quatre formes du mécanisme en question avec leurs éléments déduits des formules précédentes en y faisant |

TE mi

et en posant

Théorème relatif a la courbe de Watt.

(Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, II série, T. V, 1881, p. 216).

a ae

Si deux sommets À, À, du triangle AA, M glissent respectivement sur deux circonférences de centres C: C,, la courbe décrite par le sommet M ne peut avoir avec sa tangente un contact d'ordre 5 (limite qui ne pourra ja-

mais être dépassée) que dans le cas où les angles CA4,, CA, A ont les valeurs