PA

Qu+1

Qu ?

donc, en donnant à F,, la valeur 6, NOUS rendons la puissance du produit

EF be @ inférieure à celle de

Q Qu Qu Que

de (90

et par conséquent inférieure à celle de x”, car, dans le cas que nous examinons, le dénominateur Q@,,, est du degré m.

D'où il résulte que si Q

ui 85 du degré m, on peut toujours faire

et qu'aucune autre valeur de ce facteur P ne satisfera aux conditions établies dans le numéro précédent.

Dès lors, dans ce cas, le polynôme cherché y ne peut avoir qu’une seule valeur, et elle sera déterminée par la formule que nous venons d'écrire, c’est-à-dire par

y=0, Q, +0, Q, +... A ner,

pourvu que nous y fassions

Passons maintenant au cas où le dénominateur Q ua 65 d’une puissance supérieure à #. Conformément aux conditions qui déterminent le facteur ur le produit Fe Q,, doit a. d’un degré qui ne soit pas supérieur à

m— 1, et le degré du quotient EE Fu % ne doit pas surpasser — » — 1, ou U+1

bien, ce qui est la pers chose, le facteur ne doit pas avoir un degré

supérieur à celui de =———, et le degré de la ue Fes — ©, ne doit pas

D b surpasser celui de Qu, Or cette ropriété est évidemment exprimée par les mi p

deux équations suivantes:

(8) F,=Cr+QGr "+...

LA à LEA M Vs] (9) M + ...., où y désigne la puissance de la fonction —— a , Ÿ, Celle de la fonction im (T3

et les quantités

ON dd 0)...

sont des coefficients indéterminés.

L’élimination de x, à l’aide de ces deux équations nous donne

+ Cr + Cr +.. . MIT IR ET”. ...,

équation qui ne peut être satisfaite par aucune valeur des coefficients

Cis Cuy...., C, C”,...., si le degré de la fonction o,, surpasse v et v..

or D

D'où il est aisé de voir que si la puissance de ©, est supérieure à v et v., il est impossible de satisfaire aux conditions qui déterminent F, dans l’expression du polynôme cherché, et par conséquent, dans ce cas, notre problème n’a pas de solution. Dans le cas contraire, quand la puissance de ©, n’est pas supérieure au moins à l’un des nombres v et v,, la valeur du facteur 2 sera facile à trouver, et, comme il est aisé de le voir, elle sera déterminée, ou par la seule équation (8) ou par la seule équation (9), selon que v sera ou ne sera pas < v,.

+ effet, mettons l’expression de F,, donnée par l’équation (8), dans la formule (9), nous aurons

Cr + Cr + .... —w, = C'21+ C'et + PRE

Si le nombre v est inférieur au nombre v,, le degré de la première partie de cette équation ne surpassera pas celui de la seconde, car si v << v, la puissance de la fonction w, ne peut être supérieure à v,, puisque dans ce cas, contrairement à l’hypothèse, cette puissance serait supérieure aux deux nombres v et v,. Donc, par un choix convenable des coefficients C”’, C”,...., on pourra toujours satisfaire, dans ce cas, à l’équation

Qr'+C0r +... 0er Car

RS RE quels que soient les coefficients ©, C,,.... du premier membre de cette équation.

De même si v n’est pas < v,, l'équation (9) nous donne

F,=0,+ CRIE PINE SE, et, en y laissant tous les coefficients arbitraires, nous obtenons une valeur de F, qui satisfait à l’équation (8) si l’on donne des valeurs convenables aux coefficients C, C,,....

Aïnsi, il est bien établi que toutes les fois que le degré de la fonction

wo, n’est pas supérieur au moins à l’un des deux nombres v et v, (degrés . m— ; . .

des fonctions ee et er) la valeur du facteur F,, satisfaisant aux con-

ditions du numéro précédent, peut être trouvée. De plus, la valeur de a

sera déterminée par l’équation

F,=0Cz +02 "+...

ou par l’équation E,=0,+ Gaei Or + Nr

HE”. ES selon que l’on aura v < v, ou bien v = v,. Quant aux coefficients

AE 1200 © VAS AR Or.

ils restent arbitraires.

$ 9. Pour donner un exemple, cherchons à determiner le polynôme

FE 2 s mMm—1 J=A VA TH A+... + A, 2x

sous la condition de rendre maximum ou minimum la valeur de la somme

T1 D > (un —f (&)) 0 (x), étendue aux valeurs T—=L,, Lo, Lg, .

Nous commencerons par supposer que le choix des coefficients

RS SE NRA

du polynôme cherché y n’est limité par aucune condition particulière, et puis nous traiterons le cas où la valeur d’un de ces coefficients

NL À... 2

m—1° est donnée.

La première hypothèse, avec les valeurs réelles de +,, &,, æ,,.... et l’invariabilité de signe de la fonction (x), nous donnera la formule déjà connue de l’interpolation parabolique d’après la methode des moindres carrés dans les cas ordinaires; la seconde, avec les mêmes conditions pour les quantités x, 2, %3,.... et la fonction O(x), nous conduira aussi à une formule d’interpolation parabolique d’après la méthode des moindres carrés, mais dans les cas particuliers où l’un des coefficients de l’expression y est assujetti à la condition d’avoir une valeur donnée.

Si dans les formules du n° 2 nous faisons

F(,y,9,y,....)=(y—f(x)) 0(x), nous trouverons

d , J9 f TETE = EME = (y —f(a)) 0 (@)

dE(x,y,y’,y”,....) P — ? dy! Enr 006 0,

MAS | Poe Avec de telles valeurs des fonctions HN 5.

et dans l’hypothèse que le choix des coefficients du polynôme n’est limité par aucune condition spéciale, nous aurons à remplir né le n° 3 la condition suivante:

L'expression (y — (a) 0 (0

doit être réductible à une fonction entière, avec une approximation poussée jusqu'au terme x" inclusivement.

Désignant par d@), D... D) DC) Puei(h -

les dénominateurs des réduites qu’on obtient en développant la fonction

0 (x) g'(x) p (x) en une fraction continue Lo di + ; . 4 - Ne 1 Qui + 1 Qu. IR LES

et supposant que dans la suite des fonctions

Ÿ, (x), ®, (x), EE à . (x), d (x), | SR (x), me la dernière fonction d’un degré inférieur à » soit

nous trouverons que le polynôme y=A+At+ A+ ....+14,,0 qui satisfait à cette condition, sera donné par la formnle y= a) +od(+.... +0, 9, ,(@) +8, 4,0),

où les facteurs

dS

seront déterminés par la formule

at n—1 Yn (2) F (@) 0 (æ) '(x) FT ba (x) f(x) 0 (x) p'(x)\. o, = (— 1) Ec.( (x) Ë (x) }

et le facteur FE d’après le n° 8, n'aura qu’une valeur déterminée

si la fonction 4,,(x) est du degré m». Dans le cas contraire, si notre problème admet une solution, c’est-à-dire si la somme

d > (if)? 0(x,)

peut devenir un maximum ou un minimum, le facteur Æ, contiendra plusieurs coefficients indéterminés et sera donné par l’une des formules

MS y ÿ—1 F,=Cx+Cz +....,

F,=0,+ CEE CET +. ...,

où v et y, désignent les degrés des fonctions

ami Dur @) DU)? enr

Comme précédemment, on appliquera la première de ces deux formules si v << v,, et la seconde dans le cas de v5v,. Quant au critérium qui permet de reconnaitre que notre problème a une solution ou n’en a pas, nous avons déja vu ($ 8) que le facteur F, qui satisfait aux conditions de notre problème n’existe que dans le cas où le degré de la fonction w moins l’un des nombres v, v..

n ne surpasse au

Quand les quantités

Vs Les D