L(VR), 4, (VR),...., 4, (VR

déterminés successivement l’un au moyen de l’autre, ont, comme il est facile de voir, dans le cas

R = 2 + ax + b, les valeurs suivantes:

e % © w D» © 0 © 0 9 0,0 à © © © ee + + © eo + + » © 6 #6 + © de 9 0e 0 6 0 0e © 0 + |» 01:67:41 0;01:8:0 0

ve 0 eo 20e dt, Se eee 0 © 0 0e © ve » 0 pe © 05 0 0 be vin. de" 0 pp GS 6 nn vs Re TOM R.T 0 0

Le nombre &., qui exprime combien des facteurs

PVR), 4, (VR),.….…

entrent dans l'expression de la fonction (YA) peut avoir toutes les grandeurs de zéro à l'infini.

La supposition

s’obtient dans le cas = 1

et dans ce cas n0$ formules donnent

[= de = K log [o (V2). (a VAR). qi (a VR)],

? (VR)=2— Ve + ar.

La supposition

a lieu quand u — 2,

et dans ce cas la fonction ® (V2) qui entre dans l’expression de l’intégrale

Er mreer Ya3 + ax + d X + aX + 4 au moyen de la formule

K log Le (VAR). o° (x VA). o%° (a2 VR)] a la forme suivante

Q(VR)=(a— VR) {a+ 3(2+2)(3%r++)

+ |x—3 (8 + 1) (x) VR + VR).

Dans le cas

on à la même valeur de y et, par conséquent, la même forme de la fonction o (VAR).

Dans tous ces cas o reste une quantité constante et a les valeurs suivantes:

1) —2X pour b—0, 2) —6XK, pour 5 ——% et 9EV—S8 1 V—3

Mais l'application du procédé qui a été donné par nous pour l’intégration de la différentielle

Te.

sous forme finie, n’est pas bornée à ces résultats particuliers et à d’autres semblables; ce procédé de l'intégration mérite toute l'attention d’autant plus qu’il donne la condition nécessaire pour que l'intégrale

he puisse être exprimée sous forme finie. En effet, pour qu’il soit possible d’ex-

primer l'intégrale

[ A V 23 + ax + bd

sous forme finie, il est nécessaire qu'au moins l’une des équations

Ne ti

b2 \2 b2 8(%) Xt+ 67 (X°+92X)— 1

puisse être satisfaite par une quantité X qui est rationnelle en En appliquant cette condition aux cas mentionnés de l’intégrale

Y a3 + ax + bd

nous trouvons que la quantité

a les valeurs suivantes:

b2 Pour les deux premières valeurs de 3 l'équation

en se réduisant à

a ; DR St 2 EL

: ; 2 a évidemment une solution rationnelle en De

. nn Pour la dernière valeur de . l'équation

se ramène à

ie AT

. . s 2 € qui ne peut être satisfaite par une valeur rationnelle en = Re Mais dans ce cas l'équation

3(%) xt 6 5 (X'+2X)= 1 se réduit à l'équation 3(— +) xt 6 (— SES) ox) = 1,

et cette équation, comme il n’est pas difficile de s’en assurer, est satisfaite par

8 , V—3 ee MR Sp PR X=—3+ : 1, V—8, ce qui s'exprime rationnellement en — — SE ETS à savoir b?

est rationnelle, pour qu’il soit possible d'obtenir l’intégrale

[= — dx

Y'a + ax + bd

sous forme finie il est nécessaire, d’après ce qui précède, qu’au moins une des équations

xt = T7 LAS 0

ait une racine rationnelle.

D’après cela on reconnait facilement l'impossibilité d’obtenir sous forme finie plusieurs intégrales de la formule

[ Ê dx.

V'a3 + ax +0