SUR UN MÉCANISME
(TRADUIT PAR X. W. MESTSCHERSKY.)
(Lu le 8 (20) octobre 1868.)
Os oOnons Mmexanusmnrs.
(3anucxx Huneparopcxoë Axaremin Hayx®, T7. XIV, 1868 r., crp. 38—46.)
ras É Le
vd ja SA
Sur un mécanisme.
Dans le mémoire intitulé: Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes *), nous avons montré, de quelle manière par les approximations successives on peut trouver avec un degré désiré d’exactitude les dimensions les plus avantageuses des éléments du parallélogramme de Watt ainsi que d’autres mécanismes du même genre, qui réalisent le mouvement peu différent du mouvement rectiligne.
Nous avons réduit cette question par le développement en séries à la détermination des fonctions entières, qui s’approchent le plus de zéro, et nous avons traité dans un mémoire spécial sous le titre: Sur les questions de minima qui se rattachent à la représentation approximative des fonctions **) la détermination des fonctions entières et fractionnaires, remplissant cette condition.
Cela suffit pour trouver les solutions approximatives; mais pour la résolution exacte il faut appliquer la même analyse aux fonctions irrationnelles, qui se présentent dans ce cas.
L'application aux fonctions irrationnelles du théorème général que nous avons démontré dans le second des mémoires cités à l’égard des expressions, qui se rapprochent le plus de zéro, est intéressante sous plusieurs rapports, et comme un des résultats de telle application nous allons montrer la construction d’un mécanisme remarquable tant par sa simplicité que par la précision, avec laquelle il réalise le mouvement rectiligne.
Ce mécanisme est composé des mêmes éléments articulés de la même façon que le parallélogramme réduit de Watt; il ne diffère de celui-ci que par les directions des leviers, qui tournent autour des axes fixes: ils sont dirigés du même côté et se croisent.
On prend les leviers de la même longueur et le point, qui exécute le mouvement désiré, se trouve au milieu de la bielle, c’est-à-dire, de l'élément relié aux extrémités des leviers par les charnières.
DR nn
En appliquant le théorème mentionné plus haut à la fonction, qui détermine le mouvement de ce point, nous trouvons, que son mouvement s’approche le plus possible du mouvement rectiligne dans l’étendue plus ou moins considérable sous les conditions suivantes:
1) La distance des axes de rotation des leviers doit être égale au tiers de la longueur de tous les trois éléments du mécanisme, c’est-à-dire, de deux leviers et de la bielle.
2) La longueur de la bielle doit dépasser le quart de celle des leviers.
A mesure que diminue l’étendue, où l’on désire réaliser le mouvement approché du mouvement rectiligne, la longueur de la bielle doit de plus en plus s’approcher du quart de celle des leviers et en même temps avec une plus grande précision on obtient le mouvement rectiligne.
La longueur de la bielle est déterminée par l’équation:
2 (5 — 2a) (2a + 1) (4a — 1) ta (a + 2}? ,
où l’on désigne par a la longueur de la bielle et par Z celle de la corde de l’arc, qu'on cherche de rendre s’écartant le moins possible d’une ligne droite. (On prend pour l’unité la longueur des leviers).
Il est facile de se convaincre que cet arc sera compris tout entier entre deux parallèles dont la distance aux axes de rotation des leviers est égale respectivement à
4 4 4a — 1} VFa—-dG+a, VrGi—d(2+0+ CES
Soit en effet CAA,C, (fig. 1) le mécanisme considéré, où AC— 1,
Pur. 1.
À,C,—=1 sont deux leviers, qui tournent autour des axes C'et C,, AA, = a la bielle, dont le point milieu M exécute le mouvement désiré.
BE
D’après ce que nous avons dit, la distance CC, des axes de rotation des leviers AC et À,C; doit être égale à
AC+ AC + AA, 2+a
En élevant du milieu de CC; la perpendiculaire OX et prolongeant les droites CC, et AA, jusqu’à leur rencontre au point VW, et considérant le triangle MXV, le rectangle MXOY et les triangles ACV et A,C;V, nous obtiendrons pour la détermination des distances du point M aux droites CV et OH les équations suivantes:
MX = MV sin OVM; MY —OX—= OV — MV cos OVM; AC?=(MV—AM}Ÿ+(0V+-0Cÿ—2 (MV—AM) (0V+OC) cos OV; A,CP=(MV+A,M}+(0V—0Cÿ—2 (MV+A,M) (0V—OC;) cos OVM.
En posant
; M sin Ts
et observant que, d’après ce qui a été dit plus haut,
