SUR LES FONCTIONS ANALOGUES À CELLES DE LÉCGENDRE
(TRADUXT PAR A. V. VASSILIEF.)
© hynhuiaxe nodoËnUuXE hynhuiane letandpa.
{8anucxu Huneparopckoë Axaremin Hayx®, Tr. XVI, 1870 r., crp. 131—140.)
Sur les fonctions analogues à celles de Legendre,
La propriété remarquable des fonctions de Legendre nn Aires qui conduit facilement au développement en série de la forme A4,X,+4,X,+A,X,+....,
se déduit, comme on sait, d’une manière très simple de l’expression de l’intégrale
+] 1 1 dx *).
En effet on a, d’après la définition de ces fonctions,
VI 2sx+ 52 V1— tx + 8 donc l'intégrale
= X, +X i+ ZX À +....,
+ 1 1 1 V1—9sx+5s? V 1 — 2x ++?
— est égale à l’intégrale
+ 1 farxeexes ….)(X +Xt+X Ë+....) dx,
*) Legendre, Exercices de calcul intégral, T. IL, p. 250.
la quelle se ramène, si l’on ouvre les parenthèses, à la somme suivante du nombre infini des termes: |
Mais en déterminant la valeur de cette intégrale sous forme finie, nous trouvons qu’elle s’exprime par la formule
+ à 1+V st vi Fi—va qui se développe en série procédant suivant les puissances du produit st; par conséquent, dans le développement de cette intégrale il n'existe pas
termes de la forme APT:
où » est inégal à ».
En comparant entre elles ces deux expressions de la même intégrale
+ 1 1 1 dx E. V1— 2x +1? :
nous remarquons que leur identité suppose l'égalité
+ 1 fax, dx = 0,
pour toutes les valeurs de » et de "» inégales entre elles. De la même manière l’intégrale plus générale
+ 1 F'(s, x).F (t, x) qu) Jess Gap 0
où
T— 2x + 04) (1—s+V1—25x+ 5)" V1—9sx +5?
F (s, (ter
(G+t+VT=r 6) (1 + VTT +6) V1—2tx+t?
ke
se ramenant à l’intégrale
À (2) : FRHL (] — ste) de,
2h (1— 2)4 (1— st22)
ee 0
qui se développe en série procédant suivant les puissances du produit sf, montre que les fonctions entières de la variable x
CH ss qui s’obtiennent par le développement des expressions
(1 HaRVI= Bars) (1— s5+ V1 — 25 + s)"
(G+t+VT= 2x 6) (—t+v1— 2x 2)" V1—2tr +t?
en séries TT s+ Ts +...., T+Ti+TE+....,
vérifient l’équation
+1 TT ea (3) Â + ah A —æÿf dx = 0
pour toutes les valeurs de » et de » inégales entre elles.
Quant à la réduction de l’intégrale (1) à la forme (2), elle s’effectue facilement si l’on fait disparaître de la facon usitée les radicaux contenus dans les fonctions F(s,x), F(t,x).
En effet, en posant
(4) V1—95x+s$— V 95 y, nous trouvons que 1 2 (5) = —ÿ et
Vi—am+n=Vire ss op
En faisant le dernier radical égal à l'expression
V 24 (y +), et en posant 1 + 52 1+ 12 (6) —— Ge —— = $, nous obtenous B—a—u?
y Se DAT 2
et (7) Vie V (yen y 2.
ue
En portant la valeur de y dans les expressions (4), (5) du radical
V1—2 sx + s° et de la variable x, nous avons
ns Vi—2s+s=y 21-24,
St B — à — u?\2 moe 2u
Cette dernière égalité, d’après (6), peut être écrite plus succinctement ainsi: j
D'après ces valeurs de la variable x et des radicaux
V1—2m+r8. Vis nous trouvons que |
dr PMR ne et om Pam De
À B — «x — u?2\? À __ [4 1) w2 —(B— 0 — u?)?}} re (2u)2À | __GVariuss-e-#)} (OVariu—6-+ 010) es &y2À ?
He — B— ax—u?2\27h
__[B— a — 02)? — 4 (a — 1) #2] a QuyE
__(B—a—w2—2Va—iu) (B—a—u2+2Va—iu) 1: 4h uw? ,
[1 +R ET [is + et
2u 2u F(s, 2) — a 2u À +p—1 À 9 1+s 1—s B 2 u+B—a—u? | [2 usa] . [ V2s V2s En À+p—1 ; 2 2 u\+B—1 (B — x — uw?) EPA OA 2—À RS DR 21H Listen ie] Dies RE] F(t, x) — | — B—a+u?
LE er ous ; (2 Eu 5 a+ | [ours -aru] FL ya y à
Mais en remarquant que d’après (6)
RU A à l1—8s 1+t Verre VB— 1= V5
nous pouvons écrire les dernières expressions de F(s, x), F(t, x) plus succinctement ainsi:
PRÉ: Caisse] [ovaiuss es] F(s, x) — Hal 7 ; 2 2 +1 (B — à — w?) H— [evBeiu+s uw] [eVB—iu+ Ba eur] FE. = GET k
ue DUB 0 + ut) En multipliant ces quantités
F(s, x), F(t, x), dx __et en divisant leur produit par les quantités (+2), (1— a),
nous trouvons après la réduction des facteurs communs du numérateur et du dénominateur que la différentielle
F(s, x).F (t,) sa (+ æh (1 — x)M
s'exprime ainsi:
À+u—1 DRE À D PRERRE À+p 2 U+IVB+lIu+B—« u+2VB—l1u+-B—0 Fu 2°" (86) œ
—w7—2Va—lu +8 — uw
u+2Va+lu—B+a u
Mais, en décomposant le numérateur et le dénominateur des fractions
u+2VB+lu+B— 0 u+2VB—lu+B—0x
W+IVarliu—Bru —nw—2Va—1+B—0
en facteurs linéaires, nous remarquons que la première, après la réduction par
u+Vi+ls+Va+-l, se ramène à
Uu+VB+1—Vatrl, u—VB+1+Vo+]l?
ot
ns et la seconde, après la réduction par
u+ VB—1+Va—]1, se ramène à
u+VB—1—Va—]l, VI VE Ni
en vertu de quoi l’expression de la différentielle
F'(s,x).F (t,x) Ga} (1— 2) dx
se ramène à la suivante qui est la plus simple:
À+u—1 À \ 2) HH (sf) 2 (ri ren) (EE rt) du u—VB+1+Va+l LE QU ne QE ee "a
__ Pour trouver les limites de la quantité w, correspondant aux limites de l'intégrale
+ 1 F'(s,x).F (t,x) Jess Qi —a)f
nous remarquons que d’après (1), (4) et (6) la quantité « s’exprime par x
ainsi:
u—= VB—x—Va—x; d’où, en prenant t——1 et x— +1, nous trouvons que la valeur de « correspondant à æ = — 1, est
u—VB+I1—Va+l, et celle qui correspond à x — + 1 est u=VB—1—Va—]1.
D’après cela, l’intégrale
+ 1 F'(s,x).F (t,x) Je + (ap À
s'exprime ainsi:
VB—1—-Va—1 À+p—1 À 2H (ct) 2 (Event) (re es u—VB+I+V art) \VB—I1—-Va—1—-"
VB+1—Va+1
nm —
Cette intégrale, comme il n’est pas difficile de remarquer, se simplifie u FEsi—Vatrl.
En faisant cette substitution et en remarquant qu’aux valeurs
considérablement par l’introduction de la variable v —
u=œVB+1—Varl, u—VB—1—Va—]1
correspondent
Lens Sesthieté:
es. RSS Bree Sad us 5
nous trouvons que cette intégrale se ramène à la forme suivante
: À+ RE v+1\ v+y\# do o ÉCAOÉE
où
CR Ya—i MR Er ect
— quantité qui d’après (8) s’exprime au moyen de s et de # par la formule
y Va __(—0V%-0—9V% l+é l+s (+pV2s—(1+s)V 2%
