QU'ELLES ONT POUR CERTAINES VALEURS DE VARIABLES

(XRADUXX PAR C. A. POSSÉ.)

O6 onpedrsreni hynhuii NO SHATCHIAME,

fomopus OHTS UMIEIOME NPU nrhomopuxé benurunaxs nepe.nrennoti.

(Maremarunuecxif Cé6opauxs. T. IV, 1870 r., crp. 281—245.)

Sur la détermination des fonctions d’après les valeurs qu’elles ont pour certaines valeurs de variables.

$ 1. La formule de Lagrange donne l'expression d’une fonction d’après »n de ses valeurs

Mod. .:<i,4

qui correspondent à » valeurs différentes de la variable

T—=L,, Type.) Le,

dans le cas où w représente un polynôme dont le degré n’est pas supérieur à n— 1.

Cauchy a donné une formule pour la détermination de la fonction dans le cas où elle représente une fraction

D étant un polynôme dont le degré ne surpasse pas une limite donnée À et N un polynôme dont le degré n’est pas supérieur à n — À — 1. En passant aux fonctions irrationnelles, nous remarquons que la plus simple parmi elles représente la racine de l’équation du second degré

w+ Lu— M= 0, L et M désignant des polynômes de degrés les plus petits possibles. Nous allons montrer que ce dernier cas, ainsi que le cas de

AJ ANS 13 peut être traité au moyen du dévéloppement en fraction continue d’une

même expression avec la seule différence que dans le cas de

re

la question se résout à l’aide de l’application ordinaire des fractions conti-

nues, tandis que le cas de w+ Lu— M—= 0

demande l’application spéciale dont nous avons parlé dans la lettre à M, le professeur Braschmann *).

$ 2. En abordant la détermination d’une fonction « de la forme

N = D d’aprè près ses » valeurs

Us % u

F + EM DE teà n?

correspondant à » valeurs différentes de la variable

= X,, Li, À

nous remarquons que les équations qui déterminent les polynômes N et D s’obtiennent en égalant à zéro la différence uD—N.

pour TA, Laye.) Le La différence u D — N

peut être remplacée dans ce calcul par la différence CDN,

‘où U désigne un polynôme entier de degré n— 1 ayant pour æ—4,, L,.... 2, des valeurs égales à celles de la fonction cherchée #, polynôme— qui, d’après la formule de Lagrange, se représente par l’expression

R U Uo Un role re recorded:

où (1) pit) —=(t—x,) (t—).... (&—x,).

L’annulation de la différence

UD—N pour * valeurs différentes de la variable

T = X,, Bye T,,

constitue la condition nécessaire et suffisante pour la divisibilité de cette différence par (x) —(t—x,) (x—7,).... (&—2x,),

TE d’où il suit l’égalité suivante:

(2) UD—N=po(x) W,

W étant une fonction entière.

Cette équation sera satisfaite par un nombre infini de systèmes des fonctions D, N, W et chacun de ces systèmes donne une fraction

| qui pour

se réduit à AS NS VUS dE

Si l’on restreint le choix des fonctions NN et D, comme le fait Cauchy, par la condition que le degré de D ne soit pas supérieur à à, et celui de N ne

surpasse pas »— À — 1, nous remarquons que dans ce cas le degré de N sera plus petit que celui de da. et de ©, o (x) étant, d’après (1), du degré n. L’équation (2), étant divisée par o(x) D, donne:

EPP RE.

p@) D Do(x)

où, d’après ce qu’on a remarqué à l’égard du degré de N, le degré du se- : ; 1 1 cond membre sera plus petit que celui de +; et de Fee

Donc, la fraction

W D donnera l’expression approchée de U te (x) aux termes près d’ordre de D? x et de SR ETES D x\+1°

La première de ces approximations n’est possible, comme on le sait,

que dans le cas où la fraction se D

est une des réduites de l'expression

? (x) qu’on obtient en la développant en fraction continue. La seconde exige que

PROG, à che

dans la série des réduites successives la fraction —- soit suivie par une

fraction dont le dénominateur est de degré plus grand que }, par ce que l’approximation fournie par une réduite quelconque se détermine par l’unité divisée par le produit des dénominateurs de cette réduite et de la suivante.

On voit d’après cela que la fraction

où, d’après la condition, le degré de D n’est pas supérieur à à, sera la dernière des réduites de l’expression

ayant un dénominateur dont le degré ne surpasse pas À. Représentant par

et par

la série des réduites successives, où

(3) f = 0, Pt Pd P,=P,., EEE, | Qo—= 1, dd. Q,=9, dr chat Q,= Q,, UE et supposant que Fu Qu

est la dernière dans la série

Po Pi le

Qo? Q,? EN

ayant un dénominateur Q, de degré non supérieur à }, nous aurons, d’après ce qui précède, (4) Des Qi

nn TE mue C’est ainsi qu’on trouve le dénominateur D de la fraction cherchée = TH

et la fonction W qui, D étant connu, détermine, à l’aide de l’équation (2), le numérateur N de la même fraction.

$ 3. Il est facile de même de montrer que le numérateur N peut être déterminé immédiatement par le développement en fraction continue de l'expression

En effet, d’après nos notations, la fraction continue provenant du développement de cette expression est