UE) G

Qi; do Ge «. Étant les quotients obtenus dans les divisions successives de o (x) par U, de U par le premier reste, du premier reste par le second etc. Or, en désignant par

les restes dans ces divisions, nous remarquons qu'ils seront liés entre eux et aux fonctions q (x), U, 4, Ga, 3, .. par les équations

p(x) = Ua, + k,,

(6) | Hé hr a 1 — Lo 3 + ls; ; R;,= RL, id +R.

Mettant dans la première de ces équations la valeur de U tirée de la seconde, nous aurons

o (x) = (R, 9, + R;) Q+BR=R (Qg+1l) +R;

et remplaçant d’après (3)

CAE on ad PO à par

er nous trouvons ne (a) =2Æ, Q, + R, Q..

Or, d’après (3), on a PQ P=],

nous pouvons donc écrire la seconde des équations (5) ainsi:

U=R,P, +R, Pr.

Les égalités p(x)—=R, Q,+ RQ,

U=RP+EL,.P, où l’on remplace, d’après (3), Q, et P, par |

Q— dit FE et, d’aprés (5), À, par By + À, 03 donnent

? (x) ad (R; ei R, q3) @ + E, (Q, — @ 43) U—(R,+ À, 93) P,+ R3 (P3 — 93) ce qui se réduit à o(2) = À,Q,+ RQ, U=R,r,+k,P,.

Remplaçant ici, d’après (3) et (5), les fonctions

Qss Per Ra par

dd PB, REBA,

et réduisant, on obtient pa)=R, 0, +R, U=SR,E£+A&r.

En procédant ainsi nous trouverons en général

ST L’élimination de À,,, entre ces équations donne UQ,—q(x) P,=R,(Q,F,,—0Q,,,P).

et comme, en vertu des propriétés des das. on à OP, P=(— 1) on reduira l'égalité précedente à celle qui suit: mt UQ—g@ B=(—1YR,.

En ÿ posant i—= y et remarquant que, d’après (4), Q=D, E,=W, on trouve ; UD—e(x) W=(—1YR,, ce qui donne, étant comparé avec (2), (8) — (— 1} R,..

On voit de là qu’un des restes D DE ii:

pris avec le signe + ou — sera égal au numérateur N de la fraction - cherchée

di U= +.

Comme le signe avec lequel E, est égal à N se détermine par le signe de (— 1)° il sera + ou — selon que y est pair ou impair.

$ 4. Dans la série des restes M. de D...

qu’on obtient dans les divisions successives de o(x) par U de U par le premier reste, du premier reste par le second etc., il est facile d’indiquer

le reste R,, qui, d’après (8), donne la valeur du numérateur N de la fraction cherchée