TD

On voit d’après cela que pour déterminer le numérateur et le dénominateur de la fraction cherchée

] dl’

il faut prolonger les divisions successives de (x) par U, de U par le premier reste, du premier reste par le second etc. jusqu’à ce qu’on arrive à un reste de degré inférieur à x» — à. Le dernier reste avec le signe + ou — sera le numérateur N; quant au dénominateur D—@,, on l’obtiendra à l’aide des quotients q,, 4,.... q, que donnent ces divisions, au moyen des formules (3); le signe avec lequel le dernier reste est égal au numérateur N sera + ou —, selon que x, le nombre de toutes Les divisions, sera pair ou impair.

$ 5. Passons maintenant au cas où la fonction « représente la racine de l’équation

+ Lu— M—= 0.

Pour que la fonction « ayant les valeurs

W; VU; . . . . k (77 pour Ph) Anis satisfasse à l’équation

+ Lu— M—= O0, il faut et il suffit que pour les mêmes valeurs de x on ait U?+ LU— M—=0,

U étant ($ 2) une fonction entière de degré n— 1 et ayant les mêmes valeurs que w pour x = %,, æ,,.... æ,. Cela se réduit à l'égalité

(9) U+ LU—M=o(x) W, où pit) =(t—4,) (x—x,).... (&—2,),

et W une fonction entière inconnue, Tout système de fonctions Let M pour lequel cette égalité peut être satisfaite par une fonction entière W conduit à une équation

w + Lu—M=0

à laquelle satisfait une fonction w prenant les valeurs %,,%,,.... 1, pour D=%, L3,.... 2, et le nombre de ces équations est infini. Ayant en vue

MUR peus

les équations les plus simples, nous allons chercher celle dans laquelle le degré de Z ne surpasse pas une limite donnée À, M étant en même temps du degré le plus petit possible.

L’équation (9) se réduit aisément à la forme

U RE A Peu à (0) TC Ua TTL

qui fait voir que la différence

représente la valeur de U?

aux termes près d’ordre de la fraction

et, par conséquent, pour que M soit, conformément à ce qui précède, de degré le plus petit possible, il faut que la différence

PRE à p (x)

représente le plus près possible la valeur de

Or, la détermination des polynômes Z et W sous cette condition est justement l’objet de cette application spéciale des fractions continues dont il s'agissait dans la lettre mentionnée ci-dessus. En appliquant au cas actuel la formule y établie pour la détermination du polynôme X, nous trouvons que le polynôme Z se détermine par la série suivante

(Es, Qo? — 4 EoQv) Q—(Eg Q,v—9 EQ@v) Q+....,

où

ont le même sens que dans les paragraphes précédents.

es DT

Cette série arrêtée au dernier des termes dont le degré ne surpasse pas À, donnera le polynôme cherché Z. Supposant que ce terme soit

+(Eo., Qu v — Qui E@,») (A

et désignant pour abréger une expression de la forme

Bo. Q;v — g,,, EQ,v

par nous aurons d’après ce qui précède

Quant à la fonction W, la formule de la lettre mentionnée qui détermine le polynôme Ÿ, donnera d’après nos notations, pour l’expression de W la formule suivante:

= —Eo+o, P,—0, P+....+(—1# o, P,.

Pour déterminer le polynôme X mettons dans l’équation (10) les expressions trouvées des polynômes Z et W, ainsi que le développement de

la fonction U2 (x)

V—=— en série procédant suivant les valeurs

ee: U F 5@ %—h; so À —h...., qui aonne

On en tire, en multipliant par œ(x) et réduisant, l’expression suivante du polynôme M:

M—(-1)'0, [0 Q,.1-9@)P, 1] +(<1) "0, ,,100,..—0P,,,]-+—. Or, remarquant que d’après (7)

U ÈS eh - (x) Fi = (— | 3 26 ns

UQ ..— o(x) P,,, = (— | k..,

C’est ainsi qu’on détermine les polynômes Z et AZ conduisant aux équations les plus simples de la forme l'exe: dns + Lu—M—=0

auxquelles peut satisfaire une fonction « qui prend les valeurs

VU, Uoy ... Un

pour

AUR LES PARAULÉLOGRAMMES,

(Dédié à l'Ecole Impériale technique.)

(TRADUIT PAR G. X. SOUSXLOF.)

Tpyxx Broparo crbsra pyccxux BR ecrecrBoucnnrarere“ BB MocxBh, nponcxoxuBImaro C& 20-ro no 80-e agrycra 1869 roxa. 1870 r. Orxbuz Texxouorix x lpaxruwecroë Mexanuxu. Crp. 9—80,

Sur les parallélogrammes.

(Dédié à l’Ecole*Impériale technique).

$ 1. Jusqu’à présent on n’emploie en pratique que trois parallélogrammes différents: les deux parallélogrammes de Watt, réduit et complet, et le parallélogramme connu sous le nom du mécanisme d’Evans. Mais il est possible de composer beaucoup de mécanismes semblables qui fournissent le mouvement plus ou moins approchant du mouvement rectiligne. Dans les séances de l’Académie Impériale des sciences de St.-Pétersbourg (18 oct. 1861, 8 oct. 1868) et de la Société mathématique de Moscou (18 nov. 1867) nous avons parlé de la construction des parallélogrammes qui par leur précision surpassent tous ceux qu’on emploie aujourd’hui. Maintenant nous montrerons, comment on peut construire différents parallélogrammes qui produisent le mouvement rectiligne avec l’approximation aussi grande que l’on voudra. Nous allons voir qu’avec le même nombre d'organes que celui du parallélogramme complet de Watt il est possible de construire un parallélogramme qui fournit le mouvement rectiligne exact jusqu’au 13-e degré, tandis que les parallélogrammes de Watt et le mécanisme d’Evans ne produisent ce mouvement qu'avec l’exactitude qui ne va que jusqu’au 5-e degré; quant aux parallélogrammes, proposés par nous, leur degré d’exactitude balance entre 6 et 8. Un tel parallélogramme, comme on va voir, présente d’ailleurs cet avantage que, tout en conservant dans son jeu la précision encore suffisante pour la pratique, il peut remplacer par ses organes la bielle et la manivelle pour exécuter la transformation du mouvement rectiligne alternatif en mouvement rotatoire continu. En parlant de différents parallélogrammes nous ne considèrerons que les mouvements infiniment petits, pour lesquels le degré de précision des parallélogrammes … peut être défini avec une facilité particulière; pour passer des mouvements infiniment petits aux mouvements finis il faudra faire quelques changements

dans les dimensions des organes. Ces changements seront en général peu sensibles, si les limites pour le mouvement du parallélogramme sont assez rapprochées; alors on peut évaluer ces changements à l’aide de séries par la méthode que nous avons exposée dans le mémoire: Théorie des mécanismes connus sous lenom de parallélogrammes *). Mais pour le dernier des cas mentionnés, quand le parallélogramme remplace par ses organes la bielle et la manivelle, on aura besoin d’un procédé tout à fait particulier parce que dans ce cas qui s’écarte trop de celui des mouvements infiniment petits l’emploi de séries n’est pas efficace. Nous examinerons ce cas particulièrement et nous donnerons toutes les formules qui s’y rapportent.

$ 2. Les mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes peuvent être considérés généralement comme des systèmes de droites qui se meuvent dans un plan et qui sont liées entre elles à l’aide des charnières; ces dernières empêchent aux. points d’intersection des droites de glisser sur celles-ci, mais elles permettent aux angles faits par ces droites de varier. D'ailleurs quelques unes des charnières sont invariablement liées à certains points du plan de manière que les droites correspondantes ne peuvent que pivoter sur ces points fixes. En désignant par # le nombre des droites dont Ie parallélogramme est composé, par » le nombre des joints liant deux droites entre elles.et par v celui des pivots fixes, on aperçoit que la position sur le plan de chacune des # droites du système considéré est défini par trois grandeurs (par exemple, on peut prendre pour ces grandeurs les deux coordonnées d’un bout de la droite avec son inclinaison sur l’axe des abscisses). De l’autre côté chacune des n charnières, unissant les deux droites, et chacun des v pivots fixés au plan fournissent deux équations entre les grandeurs qui définissent la position du système considéré (savoir: l’accouplement de deux droites par une charnière suppose l’égalité des coordonnées de deux points appartenants à ces deux droites; le pivotement d’une droite sur un point fixe du plan suppose que les coordonnées de ce point sont connues). On voit ainsi que la position de tous les points du système se définira par 3m grandeurs, liées entre elles par 2 (nv) équations et par conséquent le nombre des variables indépendantes s’ exprimer par la différence

Mais ce nombre doit être égal à l’unité pour que les points du système considéré ne puissent se mouvoir que sur les trajectoires déterminées, comme cela doit avoir lieu pour les parallélogrammes; donc

(1). 8Mm— 2 (n + v) —1.

*) T. I, pag. 111 — 148.

ss D on

De l’autre côté on aperçoit: 1) que le système considéré ne doit pas se mouvoir librement dans un plan et 2) que toutes les droites qui appartiennent au système doivent être liées entre elles.

Le premier point suppose nécessairement l’existence des pivots .. par conséquent, v > 0.

Le second point suppose que #», le nombre des charnières, est plus grand que »— 2, parce que »m—2 joints ne suffisent pas évidemment pour lier une à une toutes les droites du système. Mais de l’équation (1), pour n > mMm— 2, on trouve

| = ER ee

On voit ainsi que 2, 7 sétitire re charnières, doit satisfaire aux inégalités suivantes:

(2) -. Le: LIRE D

8 3. En prenant dans légihttos am == 2 (nv) = 1 les nombres * m et n +1 pour des inconnus et en la résolvant, on trouve pour m.et n +0 les valeurs suivantes:

m=l,n+v=l; m=3 nn 04; m=5,n +0—=7, AT. I.

| En considérant les premières valeurs de »# et de n + v: . A on aperçoit que sue (2) pour M—= 1 il faut avoir

ce qui suppose que — 1. Donc en ce cas le parallélogramme dégénère en une droite pivotant sur un de ses points. — Ainsi on trouve le mouvement circulaire qui ne peut remplacer le mouvement rectiligne qu’avec l’approximation du second degré. En passant aux valeurs suivantes de » et de

n +, On à n+o 4.

Le après (2) pour m — 3 on trouve ie A RE 7e TS — 5, cela suppose que v à une des valeurs suivantes:

0 —=4À, vi—2.

Mais d’après l’équation:

à ces valeurs de v correspondent les valeurs suivantes de n: n=3, n = 2.

Donc pour »m=— 3 on aura

ou v—2, n—=2.

Dans le premier cas le système considéré consiste en une droite qui pivote autour d’un de ses points et qui est articulée avec deux autres droites à l’aide de trois joints ou, ce qui revient au même, le système n’est qu’un triangle qui tourne autour d’un point fixe, situé sur un de ses côtés. Aiïnsi tous les points ne peuvent se mouvoir que sur les cercles et par conséquent ne peuvent fournir le mouvement rectiligne qu'avec l’approximation du 2-e degré. :

Dans le second cas, quand

m==3, vi RS,

le système considéré consiste en deux droites qui pivotent sur deux points fixes et qui sont articulées avec la troisième par deux joints. C’est le plus simple système des parallélogrammes qui peuvent produire le mouvement rectiligne avec l’exactitude plus grande que celle du 2-e degré; savoir: le parallélogramme réduit de Watt, le mécanisme d’ Evans et le parallélogramme que nous avons proposé l’année passée. Les deux premiers parallélogrammes fournissent le mouvement rectiligne exact jusqu’au 5-e degré; le dernier jusqu’au 6-e degré.

Dans le troisième groupe des valeurs pour » et nv on a

Mm—=5, n+0—=7, et d’après (2) pour »# — 5 on trouve v>0,0< 4,

D'où il est clair que v, le nombre des pivots fixes, ne peut avoir que les valeurs suivantes:

Mais d’après l’équation n+v—=7

on trouve qu’à ces valenrs de » correspondent les valeurs snivantes de la quantité n:

Les premières valeurs de v et de n VE n=—=06

correspondent au cas, lorsque les 5 droites sont liées par 6 charnières et tournent autour d’un point fixe, situé sur l’une d'elles. Ainsi ces droites représentent un système invariable et tous leurs points ne peuvent décrire que des cercles.

Pour

on trouve des parallélogrammes qui consistent en deux droites, qui pivotent sur des points fixes et sont articulées avec les trois autres droites à l’aide de 5 joints; ainsi sont construits le parallélogramme de Watt et le parallélogramme que nous avons proposé sous le nom du parallélogramme modifié de Watt*). Le premier de ces parallélogrammes fournit le mouvement rectiligne exact jusqu’au 5-e degré, le second — jusqu’au 7-e degré.

En conservant la même combinaison des pièces comme celle du parallélogramme de Watt, mais en leur donnant une autre direction on trouve le pa- Fig. 1. rallélogramme que nous avons mentionné à la fin de notre mémoire portant le titre «Sur un mécanisme» **). Si l’on donne aux organes du dit parallélogramme des dimensions convenables, il fournira le mouvement rectiligne exact jusqu’au 6-e degré.

Si l’on combine les organes de la même manière comme dans le parallélogramme modifié de Watt, mais en changeant leur direction, on trouve le parallélogramme représenté sur la fig. 1. Ce parallélogramme, comme il n’est pas difficile de le montrer, neut produire le mouvement rectiligne exact jusqu’au 6-e degré; pour cela les dimensions de ses organes doivent être évaluées de la manière suivante.

Si l’on prend pour unité des longueurs celle de la droite BC pivotant

*) T. I, pag. 533 — 538.

**) T. II, pag. 51 — 57.