TRADUIT PAR G. CG. SOUSLOF

Oruers x ph, HPOHSHECEHHHA BE TOPKECTBCHHOME CO6pauix Muneparopckaro Mocxogcxaro Texamuecxaro Vunxumra 8-ro cexra6pa 1871 roxa.

Du régulateur centrifuge.

$ 1. On connaît aujourd’hui plusieurs régulateurs centrifuges, dont la vitesse de rotation reste la même quelle que soit la position de la douille ou du manchon mobile. Mais cette propriété, si importante dans la pratique, n’est atteinte qu’en ajoutant de nouveaux organes au régulateur centrifuge de Watt au détriment de la simplicité de sa forme primitive. Certainement, l’un des moyens les plus simples de rendre isochrone un régulateur consiste à le munir d’un ressort, comme l’a fait Foucault pour son appareil; mais pour que l’isochronisme fût parfait dans ce cas, il faudrait que l’action du ressort suivit, invariablement et avec une rigueur absolue, une loi déterminée, condition qu’on ne saurait réaliser dans la pratique. Quant aux mécanismes qu’on a cherché de rendre isochrones sans l’aide d’un ressort, leur complication les exclut de tout emploi utile. Mais s’il est impossible de rendre le régulateur de Watt rigoureusement isochrone, en lui conservant sa forme primitive, il est, d’ailleurs, facile de remarquer que le degré de ses écarts de l’action des régulateurs parfaits dépend de la dimension et de la disposition de ses organes. Donc, avant de le compliquer dans le but de le rendre plus isochrone (l’isochronisme absolu n'étant pas réalisable en pratique) il est nécessaire de déterminer le plus grand degré d’approximation à l’isochronisme parfait que peut atteindre le régulateur centrifuge sous sa forme la plus simple. Les recherches du genre de celle que nous venons d'indiquer se réduisent à une question d’analyse semblable à celle qui se présente dans le problème de déterminer la forme la plus avantageuse du parallélogramme de Watt, et elles établissent, comme on va le voir, qu’en donnant des dimensions et des dispositions convenables aux différents organes du régulateur de Watt on s'approche de l’isochronisme parfait en tel

degré, qu’il est superflu de compliquer encore le mécanisme pour atteindre ce but définitivement. En effet, le degré d’approximation à l’isochronisme absolu pour le régulateur de Watt peut être poussé si loin qu’il est douteux qu’on puisse obtenir des résultats plus satisfaisants en construisant réellement même des appareils parfaitement isochrones.

$ 2. En considérant le régulateur centrifuge de Watt (fig. 1), nous sup- : poserons que les tiges portant des sphères oscillantes sont prolongées au delà de leur point d'attache à l’axe vertical du régulateur, et qu’elles sont articulées par leurs bouts sur les bras qui soutiennent le manchon mobile, comme cela se fait souvent dans la pratique. Pour plus de généralité nous

ne nous bornerons pas au cas où les

tiges sont droites, mais nous les supposerons brisées et formant un certain angle &. Nous désignerons pour plus de brièveté par l’expression: première partie de la tige, sa partie supérieure et nous prendrons sa longueur pour unité. La partie inférieure de la tige depuis le point d'attache à l’axe du régulateur jusqu’au centre de la sphère oscillante sera désignée par l’expression: seconde partie de la tige, et sa longueur sera r, Nous noterons © la vitesse angulaire de rotation, en général, et sa valeur normale dite de régime par ©,. L’angle d’inclinaison de la première partie de la tige sur l’axe vertical du régulateur pour sa vitesse de rotation normale ©, sera désigné par 9, et sa valeur pour toute autre vi- | tesse © sera @ + «, de façon que « sera la mesure de la variation de cet angle pour tout écart de la vitesse © de sa valeur de régime ©,.

Si l’on forme d’après le principe des vitesses virtuelles l’équation d'équilibre entre la force de gravité, agissant constamment sur le manchon mobile et sur les sphères oscillantes, et la force centrifuge développée par leur rotation avec la vitesse ©, on obtient l’équation que voici:

Fig. 1.

P [i+ Fe A Ps | sin (® + &) = 2r [Sr cos (ÿ—-9-—a) sin (b—@—a),

Vm?—sin? (p+-«)

où l’on a pris pour unité de poids celui d’une des sphères oscillantes et où P est le poids du manchon, "» étant la longueur des bras.

En tirant de cette équation la valeur de «*, on trouve :

cos (p +- «) L liée Vs (e + 2) sin (g + &) P — 2r sin (ÿ — ? — 0)

2 sin (4 — sr en (Ur ec)

En divisant par w”, on aura

cos (p + «) ; 7:

gs [eee — sin (p+a)— sin (4 — — à) ©? __. sin 2(b—p— x) î ou bien cos (p + «) , s ti [2 TR Ras sin (+ x) — À sin (d — ? — à) 00 Bsin2(b—p— ax) ? en posant | @r :à ap F4:

(1) E À, BE PR - 2 Or, comme par hypothèse CR pour Er il est clair que la fonction [Li urnes MP sin (o + «) — À sin (} — — «) (2) Vm? — sin? (p +- «) B sin 2(L —@—a)

deviendra 1 pour &« — 0.

Mais l’isochronisme parfait du régulateur n’est atteint, comme on a vu, qu’à la condition que la vitesse angulaire © conserve toujours sa valeur ©, quelle que soit la position du manchon mobile et, par conséquent, quelle que soit la valeur de l’angle & qui détermine cette position; la fonction (2) devient alors nécessairement égale à l’unité. Or, quoique cette fonction ne satisfasse rigoureusement à cette condition pour aucune valeur des con-

stantes À, B, m, d, 9,

qui entrent dans son expression, néanmoins, par un choix convenable de ces valeurs ses écarts de l’unité peuvent être rendus très petits pour toutes les valeurs de « usitées en pratique. Par conséquent, le régulateur centrifuge, dont les paramètres À, B, m, Ÿ et © auront ces valeurs, différera très peu d’un régulateur rigoureusement isochrone.

$ 3. Quand on détermine les paramètres d’une fonction donnée de façon à rendre minima ses écarts d’une valeur constante quelconque pour toutes les valeurs possibles que puisse prendre, entre certaines limites, la variable indépendante, il faut distinguer deux cas: 1° quand ces limites sont infiniment rapprochées entre elles; 2° quand leur différence est une quantité finie, plus ou moins considérable. Les valeurs des paramètres, obtenues dans la première hypothèse, comme nous l’avons fait voir dans notre mémoire intitulé: Zhéorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes *) offrent une première approximation et permettent d’obtenir facilement leurs valeurs plus exactes, dans la seconde hypothèse, par une méthode exposée dans ce mémoire.

En nous arrêtant au premier cas, où les limites de « sont infiniment rapprochées et, par conséquent, diffèrent peu de zéro, nous remarquerons que le degré d’approximation de l’expression

Lies el CAP | sin (p + «) — À sin (4 — p — a) m

2— sin? (p +- «) B sin 2 (b —p— a)

à l’unité est déterminé par la plus petite puissance de « dans le développement de la différence:

[a+ Ch | in 62 — 4 ain (he — 0)

Vm? — sin? (p + &) B sin 2 (4 — — «)

suivant les puissances ascendantes de &.

En développant cétte différence en série suivant les puissances de & et en égalant à zéro les coéfficients de ,