LEGER

on obtient cinq équations qui devront être satisfaites pour que la plus petite puissance de « dans ce développement soit 5, ce qui est l’approximation maximum de la fonction (2) de l’unité, car ces cinq équations nous donneront les valeurs de tous les cinq paramètres qui entrent dans l’expression de cette fonction.

La solution des équations ainsi obtenues nous a fourni les valeurs suivantes pour À, B, m, ÿ, o, à savoir:

*) T. I, pag. 111 — 143.

m=— 1,81271, he 1010" o— 58°46.

En mettant ces valeurs dans la formule (2), nous obtenons une expression qui ne différera de l’unité que par des termes contenant & à la cinquième puissance et à des puissances supérieures à 5; donc cette fonction pour les valeurs de & peu sensibles (comme c’est toujours le cas en pratique) restera toujours peu différente de l’unité. En effet, si l’on calcule la valeur de la dite expression pour différents «, on trouve que la différence entre la fonction (2) et l’unité n’atteint la valeur de 0,001 que pour &a—14°40" et ne s’abaisse jusqu'à — 0,001 que pour æ ——13°50", tandis qu’à mesure que la valeur numérique de « devient plus petite, cette différence diminue très rapidement, c’est-à-dire à peu près comme la cinquième puissance de «.

D'autre part, en calculant *) l’élévation du manchon pour

on trouve qu'il s’élève de 0,62 de la longueur de la première partie du bras, que nous avons prise pour unité, pendant que & varie de 14°40' jusqu’à — 13°50". Mais au fur et à mesure que ces valeurs limites de æ se rapprochent, la hauteur de l’élévation du manchon diminuera presque proportionnellement à la première puissance de «, comme on peut le montrer par des calculs. Il en résulte que si l’on donne aux différentes parties du régulateur de Watt les dimensions et les dispositions pour lesquelles le rapport + devient égal à l'expression trouvée, on rendra ce mécanisme très peu différent d’un régulateur parfaitement isochrone, car dans ce cas,: comme on vient de le voir, le rapport a restera toujours entre 1+0,001 et 1—0,001 pour toutes les positions du manchon sur la longueur de 0,62, et par suite la différence o —w, sera comprise entre 0 et — 0 Mais si l’on diminue la portée des déplacements du manchon de 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 de sa valeur première, les limites de la différence o — ©, diminueront proportionnellement à 0,97:.0,8%: .0,77:.0.6°,

donc elles seront réduites aux valeurs:

$ 4. Quoique les limites trouvées pour les écarts de la vitesse angu- Jaire © de sa valeur de régime ©, soient assez rapprochées, néanmoins on

*) Par l'expression cos ( + à) + Vm? — sin? ( + &).

peut encore les restreindre et même considérablement. Ces limites, comme on vient de voir, correspondent au cas, où l’on détermine les paramètres qui entrent dans l’expression (2), en supposant que la variable « est infiniment petite. Quand on passe du cas, où « reste infiniment petit, à celui, où « diffère de zéro par une quantité finie, mais peu sensible, on est en état, à l’aide des méthodes exposées par nous dans le mémoire mentionné, de rendre ces limites 2— 16 fois plus petites. Mais comme les valeurs trouvées pour les quantités À, B, m, %, © fournissent l’approximation tout-àfait suffisante pour la pratique, nous ne nous arrêterons pas à l'évaluation des paramètres qui donnent l’approximation encore plus grande. Remarquons seulement, que pour les valeurs de

: ; ps B, m, d, ©, ainsi trouvées, la différence ; [+ cos (+ a) | sin (o + a)— À sin (d — p— a) — 1— |

w? Vam? — sin? (p + à) w0? es | | B sin 2(b——4)

s’annule pour cinq valeurs différentes de «; par conséquent, cinq positions différentes du manchon mobile correspondront à une même vitesse angulaire &,- Quant aux valeurs des paramètres

pour lesquelles à chaque vitesse angulaire ne correspond qu’une seule position du manchon, on peut les trouver par la méthode exposée par nous dans le mémoiré mentionné, seulement on doit ici au polynôme qui diffère de zéro le moins possible sans restrictions suppléer le polynôme qui diffère de zéro le moins possible en croissant continuellement, ou en décroissant. Si l’on détermine les différents polynômes qui satisfont à cette condition, on trouve que celui qui est nécessaire pour le cas présent peut être représenté par la formule: |

Lu + 5 5(a — xp)? %1 + Go \? 5(a&, — xp) y + Xp) (a <) 18 RE RD 0e JE D Ci

où l’on à désigné par «,, «, les limites des valeurs de la variable « pour lesquelles le polynôme inconnu

aÿ + aa + bai + co? +- da + e,

diffère de zéro le moins possible en continuant toujours à croître ou à décroître; à l’aide de ce polynôme les limites qu’on a trouvées dans le $ 3 pour des écarts de l’expression (2) de l'unité, peuvent être diminuées dans le rapport 4 : 9.

$ 5. En se bornant à la première approximation, on aura d’après le $ 3:

| 4 084713, m = 1,31271, d —119°10", — 58°46, où d’après (1) 2r &p? r?

De ces équations on tire

DS > ou Of AE 2 us ÊTA

en mettant pour À et B les valeurs trouvées, on obtient: r = 1,54906 ss P=3,65719 …

Nous avons ainsi tout ce qu’il faut pour déterminer les dimensions de toutes les pièces du régulateur.

Supposons, par exemple

les formules ci-dessus nous donnent r=1,72115; P—4,06355.

Si l’on fait une épure du régulateur centrifuge conformément aux valeurs trouvées 7, », Ÿ, on apercevra que cet appareil aura la forme représentée sur la fig. 2, où CD et CE sont ce que nous avons nommé les premières parties des tiges; leur longueur est prise pour unité ($ 2); AC et BC sont les secondes parties des tiges, dont la longueur » est égale pour notre exemple à 1,7 2115; DPF, EF sont les bras soutenant la douille 7; leur longueur est constamment égale à 1,31271;l1es angles ACE, BCD formés pas les premières et les secondes parties des tiges ont chacun 119°10°. Quant aux angles FCD, ECF qui mesurent l’inclinaison des premières parties des tiges sur l’axe du régulateur, ils auront chacun 58°46” pour la vitesse normale de rotation du mécanisme.

Le régulateur centrifuge ainsi composé aura ses tiges dirigées en haut,

comme cela se voit sur la figure 2; les centres de ses sphères oscillantes se 8*

PRSBRAR re OFTHE

trouveront élevés au dessus des points d’attache des tiges à l’axe du régulateur. En outre ce mécanisme se distinguera du régulateur de Watt dans sa forme habituelle par le poids P de la douille qui sera toujours plus considérable que celui des sphères oscillantes. Ainsi dans notre exemple P=4,06355; donc le manchon sera plus de 4 fois plus lourd qu’une sphère.

Fig. 2.

Remarquons encore que les secondes parties des tiges doivent être recourbées (comme cela est indiqué sur la figure 3) pour que leur mouvement n’entrave pas le jeu des premières parties des tiges. En recourbant ainsi les tiges il faut observer que les centres des sphères doivent être rigoureusement à la distance r du point C et que l’angle entre les premières et les secondes parties des tiges doit être égal à 119°10°.

$ 6. Jusqu'à présent nous n’avons pas examiné l’action des masses des tiges et des bras, comme c’est toujours l’usage dans la théorie des régulateurs centrifuges; mais, ayant en vue un si grand degré d’approximation à l’isochronisme, nous ne pouvons pas nous dispenser de considérer l’influence de ces parties du mécanisme. En introduisant dans l'équation de l'équilibre l’action de la pesanteur et de la force centrifuge sur les particules des tiges et des bras, on trouve pour le rapport une expression qu’on peut mettre sous la forme (2) du $ 2, si seulement la distribution des masses dans les tiges et les bras satisfait à une certaine condition. Il n’est pas difficile de donner à cette condition une expression analytique tout-à-fait rigoureuse, mais pour les besoins de la pratique, à cause de cette circonstance que les masses des tiges et des bras sont peu sensibles relativement à celles des sphères oscillantes, elle peut être exprimée avec la précision suffisante comme il suit:

«Si l’on donne au bras EF (fig. 3) séparé du manchon F une telle direction que la projection de son bout F sur le plan du régulateur *) coïncide

Fig. 8.

avec le point C, il faut que le moment d'inertie de la tige entière ACE avec le bras EF qui y est attaché soit le même relativement aux deux plans qui sont perpendiculaires au plan du régulateur et qui font âvec la droite AC au point À les angles égaux chacun à >.

Quand chacune des deux tiges avec le bras qui y est attaché satisfait à la condition exposée et quand leurs masses sont peu sensibles relativement à celles des sphères oscillantes, on peut mettre l’expression pour le rapport sous la forme (2) avec la précision tout-à-fait suffisante pour la

pratique, si l’on pose:

ne un 2 +M)Y, o— £ ACE + arcsin LT

Fos 2r+2(p+p;)X.

où p est le poids d’une tige; p, — celui d’un bras; b est la distance entre le centre de gravité d’un bras et son point d’attache au manchon; X et Y

*) Le plan qui passe par l’axe du régulateur et par les centres des sphères oscillantes s’appelle le plan du regulateur,

sont les coordonnées du centre de gravité; €, n — les bras d’inertie *) relativement aux plans yz, z& d’une tige avec le bras correspondant, quand celui-ci a pris la direction indiquée. On prend pour l’axe des x la droite AC: l’axe des y est une droite perpendiculaire à la première et située sur le plan du régulateur; l’axe des z est perpendiculaire à ce dernier plan (fig. 3).

Par r on a désigné la distance entre le centre À et le point C. L’angle ACE mesure l’inclinaison de ce segment sur la première partie de la tige ACE, Ainsi, après avoir considéré l’action des masses des tiges et des bras, on peut mettre l'expression pour la quantité sous la forme précédente (2) et l’on construira un régulateur qui même sous l’action de ces masses diffèrera très peu d’un appareil rigoureusement isochrone, si l’on

donne aux paramètres À, B, m, Ÿ, 9,

les valeurs trouvées au $ 2. En mettant ces valeurs pour À, B, Y dans les formules (4), on aura les trois équations suivantes:

L ACE + arcsin 22#PDXY 119010

0,84713 P se miX so 84718, (5) 4 |; P+ Pr: |