ACE

La solution des deux dernières équations nous donne:

P est le poids de la douille, si l’on a pris pour unité des poids celui

d’une sphère oscillante; par r est désignée la distance entre le centre de la sphère et le point d’attache de la tige à l’axe du régulateur.

j Pour évaluer ces quantités plus exactement, cherchons la position approximative du centre de la sphère relativement à la première partie de la tige, position qui correspond aux valeurs déjà trouvées pour r et pour l’angle ECA. Prenons donc une droite quelconque ÆC' pour la première partie de la tige et sa longueur pour unité; menons (fig. 4) une droite AC inclinée sur celle-ci sous l’angle a 119°10° et faisons

Fig. 4.

Le point A sera la position du &, centre de la sphère dans la première approximation; le point C indiquera la position du noi d'attache de la tige

à l’axe du régulateur, et toute la ligne brisée ACEÆ sera située au plan du régulateur. En menant du point À les deux droites AG, AG, qui font avec la droite AC les angles CAG, CAG,, ayant chacun 45°, et en construisant sur ces droites les deux plans P, P,, perpendiculaires au plan du régula- : teur, on trouve les deux plans du $ 6: relativement à ces plans doivent être égaux les moments d’inertie de la tige avec le bras qui y est attaché et qui a pris une telle direction que la projection de son bout libre sur le plan du régulateur coïncide avec le point C. Ainsi tout le bras sera situé, évidemment, plus près du plan P que du plan ?,, et la même chose aura lieu pour EC, la première partie de la tige. Donc l’égalité déjà mentionnée des moments ne peut subsister qu’au cas où il y a sur la seconde partie de la tige des points situés plus près du plan P, que du plan P; mais alors cette partie de la tige doit être menée en bas au delà de la droite AC, car, les angles CAG et CAG, étant égaux, tous les points de cette droite sont équidistants des plans P et P.. D'où il est clair que la courbure des tiges (fig. 3), qui leur donne la possibilité de se mouvoir librement, est en même temps nécessaire pour qu’on puisse satisfaire à la dite condition de l'égalité des moments tout en laissant droits les bras et les premières parties des tiges. Au fur et à mesure que les points de la seconde partie de la tige s’abaissent au delà de la droite AC la différence de leurs moments d'inertie relativement aux plans Pet P, augmente constamment, donc après quelques tâtonnements successifs il ne sera pas difficile de donner à ces points une telle position que l'égalité pour les moments d'inertie de toute la tige avec le bras soit atteinte. Evidemment, nous pouvons arriver à ce but en donnant à la tige des formes différentes. Ainsi, en supposant que le fil central de la tige (fig. 5) consiste en deux droites Cm, An, unies par l’arc mn du cercle qui les touche, et en laissant droites les premières parties des tiges avec les bras, nous avons trouvé que lorsque les sphères oscillantes ont au diamètre 0,8, l'égalité des moments est assurée, si l’on a observé les conditions suivantes:

1) L’angle ECm que font au point C les fils centraux de la première et de la seconde partie de la tige a 198°; la longueur du fil droit Cm est égale à 0,5; le rayon de l'arc mn est égal à 0,6.

2) La seconde partie de la tige CmnA, là où elle reste droite, doit avoir la largeur égale à une certaine quantité constante À. Mais la largeur de la partie recourbée de la tige va en croissant du commencement de la courbure jusqu’au milieu où cette largeur devient égale à À; après quoi elle commence à décroître et à la fin de la courbure revient à sa valeur première À. La loi de la variation qu’éprouve la largeur de cette partie de la tige est telle que les fils extérieurs sont représentés par le arcs des cercles.

3) La largeur de la première partie de la tige près du point C est égale à À; mais dans la direction vers le bout Æ cette largeur diminue uniformément et au point Æ devient égale à L À.

4) Sur toute l’étendue de la tige l’épaisséur reste constamment égale à une quantité quelconque y.

5) La surface des sections des bras reste sur toute leur étendue égale à 0,52 À.

6) La charnière qui sert à joindre la tige au bras (par cette expression on désigne tout ce qui est situé à l’endroit où la tige et le bras se touchent, et qui surpasse les limites prescrites pour la longueur, la largeur, l’épaisseur des tiges ou la surface de leurs sections) renferme 0,13Au de nos unités cubiques. |

Quand nous avons parlé de la figure du fil central Cnm.A de la seconde partie de la tige, nous n’avons rien dit de la longueur de l’arc #n et du segment #4, parce que la longueur de ces lignes est définie par cette circonstance que la droite An représente une tangente à l’arc mn, menée du point À. Quant aux cercles qui définissent la figure des fils extérieurs de la partie recourbée de la tige on peut les déterminer facilement, si l’on connaît la largeur de cette partie à ses deux bouts et au milieu, comme nous le montrerons plus loin (S 9).

Remarquons encore que les proéminences et les échancrures des tiges près de C, leur point d’attache à l’axe du régulateur, n’influencent pas considérablement l’égalité des moments, dont nous nous occupons, car en cet endroit pour chaque point la différence des distances aux plans P et P, est peu sensible. On peut dire la même chose de ce bout du bras qui est articulé avec la douille, parce que l’égalité des moments ne doit subsister qu’au cas où la projection du bout considéré sur le plan de la figure coïncide avec le point C, ce qui suppose l'égalité de ses distances aux plans P et P..

$ 8. Si l’on s’arrête au cas, où les tiges, les bras et les charnières qui les joignent sont construits conformément à ce qui était dit, et si l’on évalue

dans cette hypothèse les quantités p, p,, Y, €, n, p qui entrent dans les formules (5), on trouve p =13,8g, X#0,292,

“Ici l’on a pris pour unité des poids celui de la sphère oscillante; dans

le cas considéré, cette sphère a, comme nous l'avons vu, le diamètre égal à

0,8 et, par hypothèse, est faite de la même matière que les tiges, les bras et les charnières. |

En mettant les valeurs trouvées dans les expressions (5) et en substi-

tuant au rapport . sa valeur 0,9, on a les équations suivantes qui déter-

minent r, Pet l’angle ACE: 3

| 2r + 9,6 À | (6) Pros — 084718, r2+ 0,72) 09 Tasse + . 6,7 À A le] !

(7) £ ACE + arc:sin ris p — 119 10.

En divisant la première de ces équations par la seconde, on obtient:

2r+ 9,61 __ 0,84713 (r?+ 0,72 hu)-0,9 — 0,65616 ?

ce qui donne l’équation suivante pour r:

72— 1,72124r7 = 7,5 y; d’où il suit

Si l’on développe cette expression en série et si l’on s’arrête au premier degré de À, on trouve

Pour passer à l’évaluation de ? nous remarquons que l’équation (6) nous donne:

SPA 9,6Àu , PH Es + osirs

si l’on y met pour 7 sa valeur, trouvée plus haut, on en déduit (9) P— 4,0636 + 19 àu.

“ Ayant évalué la quantité P, nous tirerons de l’équation (7) la valeur de l’angle ACE,; enfin, connaissant cet angle et le segment AC—+r, nous trouverons la position du point À, centre de la sphère oscillante.

Ainsi, avec la précision suffisante pour la pratique, se détermineront la tige et le poids du manchon. Quant aux bras, leur longueur #, comme on l’a vu ($ 5), reste toujours égale à 1,31271; la surface de leurs sections, par hypothèse, ne varie pas sur toute l’étendue des bras et reste égale à 0,521u. Mais, évidemment, on ne changera rien dans les conditions de l’équilibre, si l’on considère les particules de la douille qui avoisinent le bras comme n’appartenant pas à celle-ci, mais au bout du bras qui y est attaché. De la même manière on peut attribuer à l’autre bout du bras une partie des masses, qui sont destinées à former le joint, articulant le bras avec la tige.

D'ailleurs, il n’est pas difficile de remarquer que, grâce à cette circonstance que les bras ont une masse peu sensible, les changements dans la distribution de la matière sur leur étendue n'influencent pas considérablement le mouvement du régulateur, si seulement le centre de gravité des bras conserve sa première position. D'où il suit, que dans la construction des régulateurs il n’est pas indispensable d’observer strictement notre supposition relativement aux sections des bras: on peut augmenter la masse des bras aux frais de celle du manchon et des charnières.

$ 9. Pour donner un exemple de l'application des formules trouvées plus haut, posons que les quantités À, m qui déterminent d'aprés $ 8 la largeur et l’épasseur de la tige, ont la valeur suivante:

1=0,16; um — 0,12.

En mettant ces valeurs dans les expressions (8) et (9), on trouve

Si l’on introduit ces valeurs pour P,), w dans l’équation (7), on obtient:

6,7-0,16:0,12 F LACE + arc: "SN Terre: LAS — 119°10';

des où, en remarquant que

| arc: sin —= arc-sin 0,0345 = 1°58, on déduit