MÉMOIRE SUR LES ENGRENAGES

(TRADUIT PAR I. W. MESTSCHKHERSKY.)

Oruers x p'ÉUX, NPOUSHECHHHA BB TOPKECTBEHHOME CO0paxix Vmneparoperaro Mocxogekaro Texauuecxaro Vauamma 10 cenraôpa 1872 roya.

Revue Universelle des Mines, T. 88, 1875, p. 528—546.

en Fs er EE

Sur les engrenages *).

$ 1. Dans les recherches théoriques sur le tracé des engrenages on suppose ordinairement donnée la forme du profil de la dent de l’une des roues et on en déduit celle du profil de la dent de l’autre. On peut trouver ainsi une infinité de différentes formes des engrenages, mais il n’y en a que très peu, qui sont employées dans la pratique. Pour que la pratique puisse, sans se borner à ces formes particulières, se servir de telle forme qui est la plus avantageuse dans le cas donné, il faut avoir une méthode générale pouvant donner un moyen facile pour tracer les profils des dents d’un couple des roues qui satisfont le mieux aux exigences de la pratique. Si l’on veut tracer les profils des dents mathématiquement exacts, on rencontre des obstacles insurmontables, mais la pratique n’exige pas cette rigueur; pour lui suffisent les procédés approximatifs, qui consistent en ce, qu’on donne aux faces et aux flancs des dents la forme des arcs de cercle convenablement choisis. Quand on n’a en vue que les profils des dents en ares de cercle (ces profils peuvent en général remplacer tous les autres avec une approximation suffisante pour la pratique), la question de la détermination de la forme des dents le mieux satisfaisant aux exigences de la pratique devient considérablement simplifiée, parce qu’il ne s’agit alors que de déterminer les centres et les rayons des quelques cercles. En étudiant le mouvement des engrenages profilés en arcs de cercle, on voit qu’ils ne peuvent jamais donner lieu à l’invariabilité du rapport des vitesses angulaires, qui présente une condition nécessaire pour que le mouvement de l’engrenage soit regulier; par suite en déterminant le profil de ces engrenages il faut se proposer pour but de diminuer autant qu’il est possible les irrégularités du mouvement

*) Ce mémoire a paru en français sous le titre: «Mémoire sur les engrenages par M. Tchebycheff. Traduction de MM. Dwelshauvers-Dery et Couharevitch.» dans la «Revue universelle des mines» 1875, pp. 523—546; la traduction de M. Mescherskiy se distingue de la précédente en ce qu’elle reproduit de plus près le texte original.

de l’engrenage, qui proviennent de la variabilité plus ou moins considérable du rapport des vitesses angulaires.

Tel est notre objet; nous allons montrer, comment on trouve, en satisfaisant aux exigences de la pratique, la forme des faces et des flancs des dents de l’engrenage profilé en arcs de cercle, pour laquelle les irrégularités du mouvement de l’engrenage sont les moindres possibles.

$ 2. Soient: C, C, (fig. 1) les centres des roues dentées (que nous appel-

Fig. 1.

lerons en abrégé: la roue Cet la roue C), et de leurs circonférences primitives, À — CD, R, = CD les rayons de ces dernières; p = AD, p, — BD les rayons des arcs de cercle DE et DPF, dont le premier est le profil de la face de la dent de la roue C et le second celui du flanc de la dent de la roue C;; À et B les positions respectives des centres de cesarcs au moment, où leur point de contact est sur la ligne des centres CC au point D; À, et B, les positions de ces centres à un autre moment, lorsque les ares sont en contact au point quelconque G. Les angles ACA, = à et BC B, — 4 sont ceux, dont les roues C'et C; tournent en même temps que le point de contact des dents se déplace de D en G. L’angle y. est une fonction de À que nous désignerons par F(); la dérivée de cette fonction Æ” (À) représentera alors le rapport des vitesses angulaires des roues C'et C correspondant aux différentes valeurs de À — ACA..

Pour À=0 on a 4 —0, donc la fonction F(À) devient nulle quand À = 0; d'autre part il est facile de voir que pour cette valeur À = 0 la dé-

rivée F” (À) doit être égale à 2. En effet, quand À — 0, le point de contact

des dents est sur la ligne des centres au point D; donc le rapport des vitesses angulaires des roues C'et C, pour cette valeur de À, comme il suit d’une propriété générale des engrenages, est égal à 22 — À. mais nous P P 8 D 8 ? 8 C,D ES avons vu que ce rapport est égal à la dérivée FÆ’(À), par conséquent R F()= R, pour À = 0. :

Avant d'examiner les irrégularités du mouvement des roues C'et C,— inévitables, quand les dents sont profilées en arcs de cercle, — remarquons que dans le cas considéré, où les rayons des circonférences primitives sont À

et À,, le rapport des vitesses angulaires devrait être constant et égal à + , de manière qu’à un déplacement À — ACA, de la roue C devrait correspondre un déplacement angulaire À de la roue C, mais le déplacement réel de cette roue, comme nous avons posé plus haut, est égal à u = F(à); par suite la différence

FQ)— 3 À

représente l’erreur dans le déplacement de la roue C, correspondant au déplacement angulaire À de la roue C..

Or, nous venons de voir que F{(À) s’annule pour À — 0, donc pour cette valeur de À la différence

devient nulle également. Pour les autres valeurs de À cette différence n’est pas nulle en général, maïs elle s’écarte plus ou moins de zéro pendant que À croît de zéro jusqu’à sa limite Z qu’elle atteint, lorsque les extrémités Æ et F des arcs DE et DF, profils des dents, sont en contact.

Donc pour diminuer autant que possible les irrégularités du mouvement de l’engrenage considéré il faut choisir les arcs de cercle DE et DF de manière que la différence

FQ)— + 2

s’écarte le moins possible de zéro, tandis que À varie entre les limites Ass O8 À

La détermination exacte des arcs de cercle DE et DF, qui rempliraient cette condition est excessivement difficile à cause de la complication

de la forme de la fonction F(À); mais, si l’on se borne à une approximation 9*

suffisante pour la pratique, on pourra bien se débarrasser des difficultés, provenant de la complication de la fonction F(À), en substituant à l’expression

FQ)— 7 À

son développement suivant les puissances ascendantes de À; puisque entre les limites O et / l’angle À est toujours fort petit, on n’a pas besoin de prendre un nombre considérable de termes de ce développement; pour la résolution des questions, qui se présentent dans la pratique, il suffit, comme on verra, s’arrêter à la troisième ou à la quatrième puissance de À, de manière que l’expression de la différence

FQ)— +2

prendra la forme de l’un des deux polynomes suivants:

KL +KN+K1+K,, ou XV +kKN+K +Kd+K,.

$ 3. D’après ce qui précède, la détermination des arcs DE et DF, qui forment le profil de l’engrenage le plus régulier, se réduit à la recherche des coefficients des polynomes

K, +k f+K 1+kK,, KNM+K +K + K 1+kK,,

pour qu’ils se rapprochent le plus possible de zéro entre des limites données de À. Ces polynomes ressemblent à ceux qui se présentent, quand on cherche la meilleure forme du parallélogramme de Watt: ceux-là ne diffèrent de ceux-ci que par quelques particularités, résultant de ce que nous avons remarqué plus haut par rapport aux valeurs de la fonction F(À) et de sa dérivée F’(À) pour À —0. La fonction F(À)s’annule pour À — 0, donc dans le développement de la différence

FQ)— À

n'existe pas le terme, qui ne contient pas À; la dérivée F”(À) pour À == 0

devient égale à F par conséquent le coefficient de À dans ce développe-

ment est égal à zéro. Il s’en suit que nos polynomes prennent l’une des deux formes: