FO F — K,(3X

ce qui suppose avec une approximation jusqu’à ?, que la différence / R FA—

devient nulle pour À — 0 r— sl La première valeur À — 0, annule toujours la différence

comme nous l’avons vu au $ 2; l’annulation de cette différence pour 2 He ne À; nous servira à trouver la relation entre les quantités, lesquelles

contient la fonction F (À).

Dans ce but rappelons que, d’après le $ 2, la dérivée F”(À) représente

le rapport réel des vitesses angulaires des roues considérées et la fraction

LE — la valeur normale de ce rapport; si donc la différence z

FQ)— 7

2 , s’annule pour À —--/, c'est qu'à ce moment le rapport des vitesses angulaires a sa valeur normale et par conséquent la normale commune aux deux profils en prise passe par le point de contact D des circonférences primitives sur la ligne des centres CC. Or, il est facile de trouver l’inclinaison de la normale commune sur la ligne des centres dans la position, où 1-1, ce qui servira à établir la relation entre les quantités qui déter-

minent le profil cherché.

$ 5. Conservant les mêmes notations que dans la figure 1, nous aurons (fig. 2): CD=R, CD—=R, les rayons des circonférences primitives, AD=e0, BD—»,, les rayons des arcs de cercle DE et DF, À et B les positions des centres des arcs DE et DF au moment, où leur point de contact est sur la ligne des centres CC, au point D; À, et B, les positions re-

spectives de ces centres après une rotation de l'angle À — ACA, — + de la

roue C, quand la normale commune 4,B, aux profils D,E, et D,F,, comme il est dit au paragraphe précédent, passera par la point de contact primitif D; soient: r — AC = À,C et les angles

L—ACD, N—ADC, v—=ADA,.

Le triangle À, DC donne la relation

AC. sin A,CD tang (ADC— ADA) = os 4,0D?

Fig. 2.

en employant les notations adoptées on a donc

rsin(z— 1)

tang (N— v) — 5 B—reos(r +1) ou s 2 tang N— tango rsin(z— 21) 1+tang N.tang v B—rcos(z— +1) En résolvant cette équation par rapport à tang v, on trouve [R—res(z À) ] tang N — r sin (z-i) tang v — 5 : ) R—ros(1—+1)+rsin(z—#1)tang N ou Rsin N=rsin (z+N-21) (2) tang v = TE R 008 Nr cos | L+ N—)

Développant ici

sin (N+L— 5), cos (N+L— 2)

suivant les puissances ascendantes de ?, on exprime par les séries suivantes: le numérateur

Rsin N— rsin(L+ N)+ 2 r cos(L+N).1+<7rsin(L+N).P+...., et le dénominateur

ER cos N — r cos(L + N)— <rsin (L+N).1+ +7 cos (L+N).P+....

Mais du triangle ACD on tire

CD. sin ADC — AC. sin CAD.

CD. cos ADC'+ AC. cos CAD — AD,

d’où, en remplaçant l’angle CAD par x — (ADC + AOD), avec les notations adoptées on reçoit

Rsin N=—rsin(L+N), RcosN—rcos(L+N) = ep,

ce qui réduit les expressions trouvées du numérateur et du dénominateur dans la formule (2) aux formes suivantes plus simples:

À (RcosN—e) ++ RsinN.P+....

o—+RsinN.i++(RcosN—p)l+. ...

En divisant la première de ces séries par la seconde on trouve + cos N—1)1+ 5 + (À cos N — 2) sinN.P+....,

et par suite, d’après l'équation (2), la valeur de tang v exacte jusqu’à la deuxième puissance inclusivement sera

Mais l’approximation admise permet de remplacer la tangente par son arc, ce qui donne

(8) o=5(* cosN—1)1+< (2 cos N — +) sin N.P.

Telle doit être la variation de l’inclinaison de la normale commune aux profils en prise après une rotation de l’angle ACA, = <2 de la roue C, pour que cette normale passe par le point de contact des circonférences primitives lorsque ACA, ={ ce qui doit avoir lieu pour l’engrenage considéré,

Cela posé, il est facile de trouver une relation entre les quantités

P; Pis N,

qui déterminent les ares DE et DF; à cet effet il faut connaître la valeur de v pour des valeurs quelconques de

Pr Pis N.

C’est ce que nous allons chercher.

$ 6. Soient (fig. 3) À et B les positions des centres des arcs consi-

Fig. 8.

dérés, quand leur point de contact est sur la ligne des centres;