DE— DE

donc le point Æ, coïncide avec le point Æ, qui est par conséquent sur la circonférence considérée, ce qu’il fallait démontrer.

$ 9. Répétant relativement à l’arc DF, profil du flanc de la dent de la roue C,, tout ce qui vient d’être dit relativement à l'arc DE, profil de la face de la dent de la roue C, on arrive aux formules, qui se déduisent des formules précédentes en remplaçant des lettres relatives à la roue C par celles relatives à la roue C, et réciproquement.

Quant à la quantité /, qui représente l’angle de la rotation de la roue C' pendant la prise des arcs DE et DPF, il faut la remplacer par

parce que la roue C! en même temps tourne de l’angle = L dans le sens opposé.

Au lieu de l’angle w — DAE, qui mesure linclinaison réciproque des rayons AD et AE passant par les extrémités de l’arc DE, nous aurons

o, = DPF

avec le signe — à cause de la position inverse des rayons BD et BF, passant par les extrémités de l’are DF.

L’équation (11) deviendra par ces changements

(13) a, l— = — sin N.P;

l'équation (10) reste la même, quand on passe de l’arc DE à l’arc DPF; ces deux équations nous conduisent au même résultat relativement à l’arc DF, que nous avons obtenu dans le paragraphe précédent relativement à l’arc DE, c’est à dire, l’extrémité F est située sur la circonférence passant par les points D, P et P..

On arrive ainsi à la conclusion suivante, concernant l’engrenage conconsidéré:

«Au moment, où le point de contact des dents est sur la ligne des centres, les cinq points suivants sont sur une même circonférence: les extrémités des profils de la face de l’une et de la partie vive du flanc de l’autre des deux dents qui sont en contact sur la ligne des centres, les points des circonférences primitives qui viennent à la ligne des centres à la fin de la prise de ces dents, et le point de contact des circonférences primitives».

Cette propriété n’est exacte que jusqu’à la troisième puissance de /, puisque en déterminant les positions des différents points nous avons négligé dans nos formules les puissances de / supérieures à la seconde. Mais cette approximation est suffisante dans la pratique en vertu de la petitesse de la quantité /, qui représente l’angle de la rotation de la roue pendant la prise d’un couple des dents de l’un ou de l’autre côté de la ligne des centres.

En se basant sur les formules (11) et (13), on peut trouver une autre propriété de l’engrenage considéré. Ces formules étant ajoutées donnent

ER + ER, l 0 ent o, —= PP ; mais d’après nos notations

et comme nous avons remarqué plus haut

donc l’équation trouvée se réduit à la suivante:

DAE + DBF= DCP + DC P..

rm ES 0

Considérant les angles que forment les cordes des ares DP, DP,, DE et DF avec leurs tangentes DG et DT, on voit que

PDG= + DCP, PDG—+ DCP,

EDT—; DAE, FDT—-= DBF,

par suite l’égalité précédente donne

EDT + FDT = PDG + P,DG, d'où EDF=PDP,,

c’est-à-dire que les cordes des arcs DE et DF font entre elles le même angle que les cordes des ares de retraite DP et DP,; les points P, P,, F, E étant situés sur la même circonférence passant par le point D, il en résulte, que les droites PP, et EF sont égales entre elles.

On peut énoncer cette propriété de l’engrenage considéré comme il suit: | g

«La distance entre les extrémités des profils de la face de l’une et de la partie vive du flanc de l’autre des deux dents, dont le point de contact est sur la ligne des centres, est égale à la distance des points des circonférences primitives, qui viennent à la ligne des centres à la fin de la prise de ces dents». :

Puisque dans le tracé des engrenages, on donne les circonférences primitives et les arcs de retraite et d'approche, on pourra toujours, d’après ce que nous avons montré plus haut, tracer la circonférence, où doivent être situées les extrémités des profils de la face et de la partie vive du flanc des deux dents et on connaîtra la distance de ces extrémités au moment, où les dents sont en contact sur la ligne des centres.

Soient (fig. 6) C'et C; les centres des circonférence primitives, D le point de leur contact. Ayant en vue de déterminer le tracé des profils des dents des roues C'et C, portons les longueurs DP et DP, des arcs d’approche sur les circonférences primitives; puis traçons la circonférence passant par les points D, P, P,, sur laquelle doivent se trouver les extrémités Æ et F des profils de la face et de la partie vive du flanc des dents au moment, où le point de leur contact et sur la ligne des centres; la distance de ces extrémités doit être égale à PP,. Quant au choix de la position des points Æ et F'sur la circonférence, il dépend des exigences de la pratique: plus ces points seront éloignés du point D, plus longue sera la dent de la roue C'et plus profond sera le creux de laroue C\; en même temps sera plus mince le

bout de la dent de la roue C et plus étroit près du fond le creux de la

roue C;.

Après avoir choisi les positions des points Æ et F sur la circonférence et la direction de la normale commune aux profils des dents en contact au

Fig. 6.

point D, nous aurons les profils cherchés, en traçant par le points D et Æ, D et F les arcs de cercle, ayant au point D la normale choisie.

$ 10. Passons maintenant au cas, où l’on dispose de deux quantités dans le choix des arcs de cercle formant les profils des dents, en vue de diminuer autant qu’il est possible les irrégularités, qui sont inévitables une fois que l’engrenage est profilé en arcs de cercle.

Développant la différence: