AN — 1,638.3.0X
dont les racines sont:
On conclut de Ià, d’après le $ 4, que la normale commune aux profils des dents en contact passe par le point de contact des circonférences primitives pour les valeurs suivantes de l’angle À:
Les équations qu’on peut déduire de cette circonstance dans le cas considéré s’obtiennent facilement, comme nous le verrons, si l’on fait usage de l’angle v, variation de l’inclinaison de la normale commune aux profils des dents en contact ($ 5) sur la ligne des centres.
Cherchant d’après la formule (4) les valeurs de v correspondant aux trois valeurs de À ci-dessus trouvées, on remarque, que la première est nulle et les deux autres sont de la forme:
v—=Kd+k,h, où il faut poser successivement À=0,3657, À = 0,865.
En désignant ces deux valeurs de v par v, et v, nous aurons
v, = 0,365 K,1+-0,365°K,P°, Va = 0,865 Xl + 0,865? X,l?.
Soient, conformément aux notations précédentes, C'et © (fig. 7) les
Fig. 7.
centres des circonférences primitives, CD — R, C;D = R, leurs rayons; À
et B les centres des arcs de cercle DE et DPF, lorsque leur point de contact est sur la ligne des centres; AD = p, BD — bp, les rayons de ces arcs; AC=+r, BC,=r, les distances des points À, B aux centres C, C;;, ADC=—N l'angle, qui mesure linclinaison de la normale commune aux arcs DE et DF sur la ligne des centres. Si À, et B, sont les positions des centres des arcs DE et DF au moment, où le décroissement de l’angle de l’inclinaison de la normale commune aux dents sur la ligne CC, est égal à v,, la droite A,B, représente la position de cette normale, correspondant à À—0,365 /; et par suite elle doit passer par D, point de contact des circonférences primitives.
Considérant les triangles CAD, CAD, C:BD, C:B,D, où d’après nos notations Abe AC=r, BO=BCE=r,; 4D=p; BD=0,, AB= AB, =p+Pp,, CD=R, GD=K,, ADC= BDC = N, A, DC= B, DC = N —v,, et posant AD — A, D = B,D — BD =h,
nous aurons les égalités suivantes:
—=gp+R—20RcosN, = (9 — h) +R? — 2 (9 —}) R cos(N — »v,), r=0) +R — 20,8, cos N, r=(e +h)P+R—2(p, + h)R, cos(N—v.),
qui, après l'élimination de 7 et r,, nous donnent: + R— 20R coSN—(p— 1h) +R? — 2 (p —h)R cos(N — v,), +R —20,R.co8N—(0, ++ R°—2 (0, +h)R, cos (N— »v,).
Pour éliminer de ces équations la quantité À on peut les résoudre par
rapport à p—het p,+h
et ajouter les résultats.
On arrive ainsi à l’équation:
p+p, —(R +R.) cos (N—v,) — Ve®—2Re coSN+ R?coS(N—v,) + Vo—2R,0, cos N-+-R,* cos? (N—v.),
qui peut être réduite à la forme:
0+o, —(R+R,) cos (N—v,) —
Ve — R cos N}° + Re? [cos’(N — v,) — cos N]
+ V(e,—R, cos NŸ + R;'[ cos (N — v,) —- cos” N|. Posons pour abréger
082 (N — v,) — cos? N (14) : TN —4,
ce qui donne
cos(N—v)—cosNV1++#,, et nous pourrons écrire l’équation précédente comme il suit:
po —(R+R)cosN V1+4, —
V{e —R cos N)°+ R? co N.t, + V(o,—R, cos N) + R° cos N.4..
Développant les radicaux suivant les puissances de £,, on ramène tous les termes dans le premier membre; divisant par {,, on trouve:
ER? cos N es BR cos N PS RP p—Rcos N p, — À, cos N 1 sense ta se’ “nl + 5 re Rem + ER | he ia let olanet 0 die re ouate Dunes ie siennes Faisons pour abréger
(5) p 2 Ra F = À, Pi LE gs F,
et l’équation ci-dessus prendra la forme nivanies
RX+RY+R+R —1(RX+RY+-R+R)E] À
++ (RX+RI+R+R)H+...
En répétant les mêmes opérations pour l’angle v,, qui correspond à
l'angle de la rotation À = 0,865 /, pour lequel la normale commune doit passer aussi par le point D et posant:
2(N—0.)— cos? N (17) cos? ( me le cos —+,,
nous obtenons l’équation
RX+RY+-R+R—S-(RX+RY +R+R)t (18) k À 1 2 à ++ (RX+RP+R+R) +...
analogue à l’équation (16).
Des équations (16) et (18) on déduit les valeurs de X et Y; en suite à l’aide des formules (15) on trouve les valeurs de 9 et p,, rayons des arcs de cercle formant les profils des dents.
$ 11. Pour faciliter la résolution des équations (16) et (18) nous négligerons d’abord les termes contenant les puissances de #, et é, supérieures à la première. Nous aurons pour les valeurs approchées de X et Y les équations:
RX+RY+R+R—T(RX+RY+R+R)h—=0, RX+RY+R+R—+(RX+RI+R+R)t—=0 qui se réduisent aux équations suivantes:
