SR (ES) +2 (ET

Si l’on se borne à la première puissance de 4, et &, dans la détermination des valeurs de «& et 5, les deux équations précédentes donnent immé-.

diatement l’équation Ra+ Rp = 0.

Pour obtenir une seconde équation simple entre & et $ soustrayons l’une de l’autre les mêmes équations et, supprimant le facteur commun

(é — t), nous aurons:

ER +2R,\ RE) à FER) een)

+ [2 (EE ) + R, (à +) + KR + R, | (é, + ét).

Remplaçant dans cette éqiétion

On à

a((E)- Ne

ER + LR (Re) + À, ( +) +R+R 4 (é, + su

d’où l’on tire R,(R+2R,)(R, +2R)

re 2(R, —R} (é + to), et par suite R(R+92R)) (R, +22) p— TR — RP (+).

En portant ces valeurs de « et BG, exactes jusqu’à la première puissance de é, et {, dans les formules (20), on obtient avec le même degré d’ap-

proximation:

x = res Us (, Eh rss Re ie 4) |.

$ 12. Substituant les valeurs trouvées de X et Y dans les formules (15), on aura pour la détermination des valeurs p et p, les équations suivantes:

Ecos N __R+2R, [1 + + + t)] p—RcosN R—R 3 R, cos N = & [1 + pe +1) |.

Si l’on se borne aux termes du premier ordre relativement à £, et é,, on en tire:

3RR, cos N [1 — (R, + 28) (ti + to) F7 RER. MR |

3RR, cos N [1 — (R + 2R;) (t1 + to) PTT Par CREER)

Quant à la valeur de la somme {, +4, qui entre dans ces formules, on remarque que les expressions (14) et (17), étant développées suivant les puissances de v, donnent avec approximation jusqu’à la deuxième puissance

__2cos N.sin N

UN, one ps = — en = 2tang Nu.

he cos? N Mais d’après le $ 10 on a avec approximation jusqu’à la deuxième

puissance de / v, = 0,365 K,l, v, = 0,865 Kl,

donc avec la même approximation tt, —2(0,365 + 0,865) X,tang N.{ = 2,460 K, tang N.4,

où d’après (6)

Ep, — Re K, — 1 1 1 R(b+0))

Si dans cette expression de X, on remplace 9 et 0, par leurs valeurs trouvées ci-dessus, on a avec approximation jusqu’à la première puissance de t, et 4, exclusivement

et par suite ___ 2,460 R—R; 1+Fh = A

tang N.I

= 0,820 : tang N.1.

Substituant cette valeur de £, +4, dans les expressions des valeurs de e et », trouvées plus haut, nous obtenons

= ur [140,187 RES tang N.1|,

her FR; ___3RR, cos N E +2R A RAR [1— 0,137 A l tang N.i|.

Tels sont donc les rayons des arcs de cercle, dont l’un forme le profil de la face de la dent de la roue C'et l’autre celui du flanc de la dent de roue C:.

$ 13. Pour déterminer les longueurs de ces arcs, on a d’après le $ 8 avec approximation jusqu’à /°

où w est la longueur de l'arc de cercle, profil de la face de la dent de la roue C;, supposant que le rayon de cet arc est pris pour l’unité, et les coefficients À; et K, d’après le $ 6 ont les valeurs suivantes:

__ Ep, — Re, Br R, (o+p1)?

è R—p0cos —Rcos N)(K, +1 +(R+R Ê N.K2+#- (o cos N)(K, +1}? +(R +-2R,) | cos + ee |

K,— 2R,snN

Remplaçant & et p, par leurs valeurs trouvées dans le $ 12, nous supprimons les termes contenant, comme facteurs, /? dans l’expression de Æ, et t dans celle de X,; nous aurons ainsi:

Ki SR,

(1—0, 137 en tang N. )

Kg — (&+ 22) (R; + 2R) Ep 18R,2

tang N.

Après la substitution de ces valeurs dans l’expression ci-dessus de w on obtient avec approximation jusqu’à 5

ere [1 (eo 137) > Ne tang N./ | 1.

Remplaçant dans cette formule © par — ©,, { par — l, R par R,,

e par p, et réciproquement on parvient d’après le $ 9 à la formule pour déterminer la longueur de l’arc de cercle, qui forme le profil du flanc de la dent de la roue C:

ET —(5—0,137) tang N./| 1à

a, res

où w, désigne la longueur de l’arc, son rayon étant pris pour l’unité. On en déduit que la somme

avec approximation jusqu’à /° se réduit à

RcosN. 1-4 28) sin V./2.

Cette expression est la même que celle de la corde DE, ($ 8), qui résulte de la formule

DE = RcosN.l+R (+ 1) sin N.!,

après la substitution de la valeur de w. On conclut de là, que dans le cas présent subsistent les propriétés que nous avons demontrées ($ 8, $ 9) pour le cas, où dans le choix des arcs de cercle formant le profil de l’engrenage il n’y a qu’une seule quantité dont on peut disposer pour diminuer les irrégularités du mouvement.

Nous avons vu dans le $ 9 que dans ce cas on peut modifier suivant les exigences de la pratique la direction de la normale commune aux dents qui sont en contact sur la ligne des centres, sans changer les positions choisies sur la circonférence DPP, (fig. 6) pour les extrémités des profils de la face de la dent de la roue C'et de la partie vive du flanc de la dent de la roue C;. Au contraire, dans le cas que nous examinons à présent la position de ces extrémités définit complétement la direction de la normale commune mentionnée, puisque d’après le $ 8 (fig. 5) on a:

N=GDT=GDE + EDT = GDE+ 2.

En portant l'expression connue de w, où o et p, doivent être remplacés par leurs valeurs, on trouve une équation, qui détermine l'angle N, si l'angle GDE est donné. Si l’on a égard à ce fait que c’est dans ce cas notamment que l’on obtient la plus grande régularité possible avec des engrenages profilés en arcs de cercle, on conclura de ce qui précède que toutes les fois, lorsqu'on choisit la direction de la normale commune AB conformément aux exigences de la pratique, il faut chercher donner à cette normale la direction qui s’écarte le moins possible de celle que l'équation précédente fait connaître.

Les valeurs trouvées de w et w, avec approximation jusqu’à / donnent uw, __R,+2R w 7 R+2R) or d’après le $ 8 (fig. 5) © = DAE = 2EDT, :

o,= DBFè 2FDT,

donc on a avec approximation jusqu’à la première puissance de L

FDT __R,+2E EDIT +5

D'où il ressort que, si la normale commune aux dents en contact AB a la direction indiquée, leur tangente commune DT divisé l’arc EF en deux parties, qui sont entre elles dans le rapport

ce rapport étant exact jusqu’à la première puissance de /.

On en déduit une construction géométrique très-simple pour déterminer approximativement la direction de la tangente DT, correspondant à celle de la normale AB, pour laquelle les irregularites du mouvement de l’engrenage considéré deviennent les moindres possibles.

Remarquons pour terminer, que les angles que les cordes PD et P,D (fig. 5) font avec le diamètre passant par le point D ont pour valeurs approximatives jusqu’à /?, respectivement:

E+2kR,,; R+2R de oo À

En comparant ces valeurs avec celles des angles FrDG= GDP, — 2,

qui résultent des formules trouvées, on remarque qu’elles sont respectivement égales avec approximation jusqu’à la deuxième puissance de /. On voit de là, qu’avec ce degré d’approximation le diamètre du cercle DPP,, passant par le point D, fait avec les cordes DP et DP, des angles respectivement égaux à ceux, que la tangente DT aux arcs DE et DF doit faire avec le cordes DE et DF, pour que l’irregularité de la transmission du mouvement par l’engrenage soit réduite au minimum possible.