SUR LES QUADRATURES

(Liouville. Journal de mathématiques pures et appliquées. II série, T. XIX, 1874, p. 19—34.)

Lu au Congrès de l’Association française pour l’avancement des Sciences, à Lyon. Séance du 25 août 1873.

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x ÿ * + 4 LA # sé .

Sur les quadratures.

1. Dans l’Ouvrage très-important que M. Hermite vient de publier sur l'Analyse mathématique, l’illustre géomètre donne une nouvelle formule pour évaluer approximativement la valeur de l’intégrale

LG) Gy, Vient

Dans cette formule toutes les valeurs de la fonction (x) entrent avec un même coefficient; c’est ce qui apporte une différence essentielle entre la formule de M. Hermite et celle de Gauss, et ce qui en rend très-commode l'application numérique. L’utilité des formules approximatives de ce genre m'engage à présenter quelques réflexions sur la recherche de ces formules.

Nous supposerons que, la fonction F(x) étant donnée, on cherche à exprimer le plus près possible les intégrales de la forme

Î F(&) o(x) da,

quelle que soit la fonction o (x), par la formule

ko (&,) + o(æ) + .… +o(x,)],

où 4, %,, %,,...4, sont des valeurs qui ne dépendent pas de la fonction 9 (x). Comme cette formule ne contient que » + 1 quantités #, x,,x,,...4, dont on puisse disposer, il est impossible de l’identifier avec la valeur de l’intégrale ,

Î F@) o (x) dx

au delà des termes qui contiennent les » premières dérivées de la fonction (x), et, par conséquent, on aura

(1) Î Fe) @ (2) de-k[e (c,)--9 (2)... (0) 1h PE (0), pt (0)...

en designant par k,, 4,,... les coefficients de 9"*%(0), o"**?(0),... dans l'expression de la différence

[Fe @ de —H[e()+ç() +... 0 (mc)

que l’on trouve en développant, d’après la formule de Maclaurin, la fonction o(x) sous le signe de l'intégrale et les valeurs o(x,) o(&,), ..., o(x,) qui sont hors ce signe.

2. Pour trouver, d’après la formule (1), que l’on suppose possible, la. valeur du coefficient # et les valeurs %,, &,, ...,æ, de la variable x, nous remarquons que cette formule, dans le cas particulieur où

pa—=——,

z étant une quantité quelconque, se réduit à l'égalité

[ 2 dr H( PLAN + =

E—X 2—% Va. 2 —Xn 1.2.3...(n+1)k,2 + 1.2.8...(n+9)k2 +4...

où 4, k,,k,,...,%,,%,..., 2, sont des valeurs qui ne dépendent pas de z. D'autre part, en dénotant par f (#) le produit

(2—x,) (—2)...(—2x,), on a

Es ci eg yolp ani ae fe) 2-0 2—%x dis 2—Xn°?

et, par suite, la formule précédente se réduit à celle-ci:

+1 F 4 1:39. M 122... k (2) [ 2 de = kO + : UE L + Et 24...

{ UNIVERSITY

CALIFORN\È

En multipliant cette formule par z et en remarquant que, pour z = co, les valeurs

+1 A] FO y = FE Gy, 2— à La RAA UE "3 1 1 FT yet z æ a ui 22 rl 1— — 1— — | Pre z 2 z 1.2.3...(n+1)k, 1.2.3... (n+2)k an F1 Ù an +2 ?

sont respectivement égales à 4-1 [ F(x) da, NN 0 0 ne |

on parvient à cette égalité +1

| F(x)dr =, Last :

ce qui nous donne, pour la détermination du coefficient k, la formule sui-

vante:

k—=| F(x) dx.