V2—1 DIE

Ee —0 mm LEE) = 0,

résultat identique avec celui de M. Hermite, vu que la partie entière de la fonction

2+Væ#—1\ est égal à gn=1 COS (n arc cos 2).

5. Pour montrer une autre application des formules que nous venons de donner, nous poserons maintenant

r)= EX, ce qui est le cas où l’intégrale

se réduit à

intégrale pour laquelle Gauss a donné sa formule de quadrature. Comme on trouve

[ d—2, Ÿ og (e — 2) de og ETES — 2

+1 on conclut, d’après le n° 3, que la valeur approchée de l'intégrale [ o(x)dz sera donnée par la formule

k[p(x,) + 0 (x,)+.. Se o(x,)|,

. 2 $ ; quand on fait ë — —, et que l’on prend pour +,, x,,..., x, les racines

n de l’équation

n (8 (2 +1 #1 2) n (241) TE LI 2 Ee te. —=0 ou —— tt { —1) ?

équation qu’on peut mettre, par le développement en séries, sous la forme suivante :

ñn n ñn

7 2.88 4.62 6.78 ‘‘' (5) Es" e 0,

6. En donnant à » les valeurs les plus simples, telles que h=2, 3, 4:05; 6 7,

on trouve que, pour ces valeurs de #, l’équation (5) devient respectivement

té 3 ST 2 RE Rai?

? L RS TS rnis £ s +23 —=0, POSE PEER 6 72 ?

1 1 6 4 3 LURER nn Ne à 106 — 0; fl 119 149 GRR a CAE Vip HÉLAN Er Et = F 6 . 560 ? 6480 ? 0,

et, en resolvant ces équations, on obtient les systèmes suivants des valeurs

de4,,4,,.:.,4;:

ne 7, x, = — 0,883862, x, = — 0,529657, %3 = — 0,323912, æ,—= O0,

Avec ces valeurs de x,, x,,..., x, , la formule [o (x) + pts) +... + o(x,)]

donne l’expression approximative de l'intégrale

qui, dans certains cas, est plus commode pour les applications que ne l’est celle de Gauss; car, dans cette dernière formule, les valeurs o (x,),o(x,),.…, p(x,) entrent munies de divers coefficients. Comme notre expression de l’inté-

grale | 9 (x) dx n’est exacte que jusqu’aux termes en 9 "#1 (0), **2 (0)... on devra y prendre, en général, plus de termes que dans la formule de Gauss. Néanmoins, dans le cas où les ne à de p(z,), p(æ&), ..., o(x,), d'aprés lesquelles on détermine l’intégrale ke o (x) dx, sont affectées d'erreurs

inconnues, notablement plus grandes que colle qui résulte des termes rejetés, la formule approchée que nous venons de trouver doit être préférée à celle de Gauss même par rapport au degré de précision, vu que, dans cette formule approchée, la somme des carrés de coefficients, à cause de leur égalité, a la plus petite valeur possible.

7. Revenant au cas résolu par M. Hermite, nous remarquons que l'intégrale

V1 x — x? da

pour æ — cos 0 se réduit à

T [ + (cos 8) db;

donc la formule donnée par lui peut avoir des applications trés-utiles dans la recherche des valeurs approchées du premier terme du développement de

(cos Ü) en série À, + À, cos 0 + 4, cos 20 +...

Pour trouver une expression pareille du coefficient À,, on devrait faire, dans les formules du n° 3

Vi?"

+ Or, pour cette valeur de F'(x), l’intégrale { F(x) dx, qui entre dans

les formules du n° 3, se réduit à zéro, ce qui fait voir clairement que, pour

le cas en question, ces formules ne sont pas applicables. Nous allons montrer le parti qu’on peut cependant tirer, dans ce cas, de la méthode exposée plus haut.

En remplaçant, dans l’intégrale

la fonction œ(x) par son développement en série

0 æ” (0 "(0 AO CPE OPEL E ES

le terme du résultat qui contient (0) s’annule toutes les fois que l’in- +1

tégrale | F(x)dzx est égale à zéro; mais il n’en est plus ainsi, évidemment,

de son expression sous la forme

à moins qu’on ne prenne, dans cette formule, la moitié des termes avec le signe —, Nous allons donc chercher à exprimer la valeur approchée de l’intégrale

dans la supposition de

par la formule

k [o (æ,) Se P (La) Prsir o(x,,) THE ? (&,,.) FETE ? (e,.,.)— FATE ES (x...) où il y a » termes avec le signe + et » termes avec le signe —. 8. Comme, dans la formule

ko()+o(m)+...+o(x,)—0o(x,,,)—9(2,,,)—...—09(x2,)],

y A 2m VAIOUES, SAVOIT: À, 2, 0, ..., 2, D ar Dar : c : à Tan dont on peut disposer, et que par sa composition, le terme en @(0) s’an-

+1 nule, on peut identifier cette formule avec l'intégrale [ F(x)(x) dx

jusqu’aux termes qui contiennent les 2»m+-1 premières dérivées de o(x), ce qui nous donne l’équation

ÎF (x) o(x)dx—k [p(x) +9 (x). + Q(T,,)—9 LR eue (Tao) —9 (Zm)] + k, LEO) + k, DATE (0) +...

En suivant la même marche que dans les n*® 2, 3, nous trouverons, d’après cette équation, les valeurs des quantités k, &,,x,,...,4,,. En effet, posant

l'équation précédente se réduit à celle-ci:

T F(x) 1 1 1 1 1 1 Aie ) TZ Fe on re Ca Er ane 7 [4 4 #( —n 3 TT 2m 2 Tmtri 2—Xm+2 ic) 1.2.3...(2m+2)4 . 1.2.3...(2m—+3)k, Z2MmF3 ne 22m F4 ms

Faisant ensuite he) =(2—%) (2—2)...(e—2x,),

é (2) = — Cu Von ) (e nas ui RUE. (& Mr Lim)

et remarquant que, pour ces valeurs de f, (4), f, (2), on a

(2 Fr. 1 1 bE + + ——, Jo (2) Z—%; Z — Lo 2 — Lm

(2 1 1 1 ñ@ — + +... + ; Ji ( 2 —Lm+1 2 —Lm+2 Le

on peut mettre l’équation sous la forme suivante:

+1 F(x) Me Jo (2) (2m + 2)4, fais —$ lea Es 1.2.3... (2m<+3)ko + RFA ne PES d’où, en intégrant par rapport à z, on tire ; F (x) log (2— x) de = log LE — De = JL