m+1)k, __ 1.2.8...(2m+2)ke k = L,, ke — L

on trouve l'+1 = L, 2722 I, 328... FT $ F{(x)log(z — x) dx

Jo (2) : RL

Les fonctions f, (2), fi (2) ) étant de même degré, la fraction 5e Fe est du

degré zéro; de plus, l’expression

SE L, g72m—2 —L, gT2Mm—3 Fra

ne diffère de 1 que par les puissances de z inférieures à z 7°"; fo(e)

séquent, l’équation trouvée nous montre que la fraction 7. 2e diffère de

: par con-

l’expression 1 +1 —$ F(x)log(z — x) dx k +1 e

que par les termes qui renferment les puissances de z moins élevées que : : : : 1

3—2m—1 et, par suite, moins élevées que le degré de la fraction op Car

la fonction f, (z), comme nous l’avons vu, n’est que du degré m. Mais, on le

sait, la fraction 2e ne peut donner une valeur approchée d’une fonction

quelconque exacte jusqu’à l’ordre de [ F OP à moins qu’elle ne soit l’une des fractions convergentes qu’on trouve par le développement en fraction continue, et que le quotient complet, correspondant à cette fraction convergente, ne soit dépourvu du terme en — En partant de là, il est aisé de trouver et la constante k et les fonctions f(z), f.(+), qui déterminent les valeurs de 2, %,,...,4 4 %,n- À cet effet, on développera l’expression

m) " m+1? Ton ete 4

1 +1 +: F(x) log (z — x) dx —] ÿ €

en fraction continue, en s’arrêtant au quotient qui correspond à une fraction convergente dont les termes sont du degré ». Égalant à zéro le coefficient de dans l'expression complète de ce quotient, on aura l'équation qui déterminera la valeur de Ja constante k#, et, en mettant la valeur de k ainsi déterminée dans deux termes de la fraction convergente, on aura les fonctions cherchées f, (2), fi (2).

9, Pour montrer, sur un exemple, l’usage de ce que nous venons d'exposer, supposons qu’il s’agisse de trouver l’expression approximative de l'intégrale

Pour cela on posera, dans les formules du numéro précédent, FX) = 2.

Pour cétte valeur de F(x), on obtient

+1 +1 Î F(x)log(s— x) dx = | æ log (2— a) dx = log; Gest à muad ‘

1 1, +1 ss True DTA 10 = er

En développant la dernière expression en fraction continue, on trouve

que le quotient complet, correspondant à une fraction convergente dont les termes sont du premier degré, est égal à

Bke+1— (5h) + .

et que cette fraction est égale à

3kz — 1 8kz + 1?

d’où nous concluons que, dans l’expression approximative de l’intégrale

par la formule k [? (&)— 9? (æ,)] on doit prendre, pour k, une racine de l’équation k — = = 0, et, pour x,, %,, respectivement, les racines des équations 3k32—1—0, 3k24+1—=0.

On trouve ainsi deux valeurs de k:

et deux systèmes des valeurs de z,, x, :

mais de ces doubles valeurs de 4, x, x,, il ne résulte évidemment qu’une seule valeur de l’expression cherchée, savoir:

EL VD-e(-V5]

Pour trouver une expression approximative à quatre termes de l’intégrale

on prendra le quotient de la même fraction continue qui correspond à la fraction convergente dont les termes sont du second degré. Comme la valeur complète de ce quotient s’exprime par la série

es 10542 TE" Et hs 4

et qu’il correspond à la fraction convergente

270 ke? 22 — 90 ke + 10 — 54 K?

270 &2 22 +- 90 kz + 10 — 54 K2?

on trouvera les valeurs de la constante Æ et de x, æ,, %, 4, par les équations 5832 k4— 945 K+ 35 — 0,

270 k? 22 — 90 ke + 10 — 544? — 0, 270 &? 8? + 90 ke + 10 — 54 42 = 0.

En les résolvant, on parvient à ces deux expressions approximatives de l’intégrale en question

0,23937[p(0,89224)+@(0,50030)—9(—0,50030)—p(—0,89224)], et 0,32363 [p (0,84905)+@(0,18093) — © (—0,18093)—œp(—0,84905)]. 10. En passant à la recherche des expressions approximatives de l'intégrale

uv,

T “A J cos Op (cos 0) dû ou Î 7? (x) dx,

se |

nous poserons dans nos formules

Pour cette valeur de F(x) on obtient

+1 . FRS RER [ F(x) log (2 — x) dx = [ —— log (2— x) dx = —r(3— V2 —1), has | a |

LT FEI d La vai PE (x) log (2 — x) dx et 2— 1) € = €

Développant la dernière expression en fraction continue, on trouve les fractions convergentes

4kz — 7 48k222 — 19kxz + n°? — 12K? Akon’ A8k222 + 124nc + n2 — 19k2° ° ‘ ‘?

qui correspondent aux quotients complets

720k4— 6GOn2k2+ nt 1

1242 — nr? —.—$ k 20(2—7)% & °°"?

Akz + x —

he lie &£

d’où, d’après le n° 8: 1°, pour la détermination de k, x,, æ, dans l’expression approximative de l’intégrale

T [ cos 0 © (cos 0) dû : 0

par la formule

k [9 (a) — + @)] résultent ces équations

19k#—rm—0, A4kz—m—0, 4ke+nx—0;

et 2°, pour la détermination d’une expression semblable à quatre termes,

les équations 720 k4— 60 r°k? + 7 — 0,

AS 28 — 19kne+m — 124 — 0, 48 2 22 + 192 knz + r°— 12 — 0.

Les expressions approximatives de l'intégrale

T Î cos 0 o (cos 0) db,

que l’on obtient d’après ces équations, se réduisent à celles qui suivent:

Fa 0 p (cos 9) = 7e {p (cos 0,) — p[cos (x +-0,)]},

T 2! cos 0 (cos 0) dû —

0,151765% {p(cos 0,) +- æ (cos 0,) — p[cos (x + 0,)] — p[cos(x + 0,)]},

où D e00, mi Las")

en prenant plus de termes dans la formule k [o (x) si P (x) ONE RO dE 9 (x) RES ® (2,1) — P Gi) MRC UT ET P (&,m)]:

Nous n’insisterons pas sur la recherche de ces formules; nous remarquerons seulement que, en remplaçant dans toutes ces formules les termes de la forme ® (cos 0,) par

Loan)

où / est un nombre entier, on obtient les expressions approximatives de l'intégrale

ie [ cos 79 o(cos 0) d0.

Aïnsi, en partant des formnles précédentes, qui donnent les valeurs approchées, à deux et quatre termes, de l’intégrale

T | cos 0 @ (cos 0) d6, on passerait aux expressions approximatives à 2/ et 47 termes de l’intégrale

Re | [ cos {0 p(cos 6) db,

*) Hormis cette expression, il existe une autre aussi aux quatres termes, où k = 0,245562 x, 0, = 240, 0, = 840,

expressions qui peuvent être présentées ainsi:

Ai 2 Co: 2 (cos Se)

De >: (— 1} Le (cos + ru) Le (cos re) |,

où les signes de sommations s'étendent à mu — 0, 1, 2,..., 2/— 1.

SUR