LES VALEURS LIMITES DES INTÉGRALES

(Liouville. Journal de mathématiques pures et appliquées. II série, T. XIX, 1874,

Lu au Congrès de l’Association française pour l’avancement des Sciences, à Lyon. Séance du 27 août 1873.

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Sur les valeurs limites des intégrales.

Dans un Mémoire très-intéressant, sous plus d’un rapport, que M. Bienaymé a lu à l’Académie des Sciences, en 1833, et que l’on trouve imprimé dans les Comptes rendus, et reproduit dans le Journal de Mathématiques pures et appliquées de M. Liouville (2-e série, t. XIT, 1867), sous le titre: Considérations à l'appui de la découverte de Laplace sur la loi de probabilité dans la méthode des moindres carrés, l’illustre savant donne une méthode qui mérite une attention toute particulière.

Cette méthode consiste dans la détermination de la valeur limite de l’in-

tégrale ] f(x) dx

d’après les valeurs des intégrales

| re dx, | x f(x) dx, [+ f(a) ni:

vo 0

où À > a et f(x) une fonction inconnue, assujettie seulement à la condition de garder le signe + entre les limites d'intégration. La démonstration simple et rigoureuse de la loi de Bernoulli, que l’on trouve dans ma Note sous le titre: Des valeurs moyennes *), n’est qu’un des résultats que l’on tire aisément de la méthode de M. Bienaymé, et d’aprés laquelle il est parvenu luimême à démontrer une proposition sur les probabitités, d’où la loi de Bernoulli découle directement.

En cherchant à tirer tout le parti possible sur les valeurs limites de

l'intégrale b ] f(x) dx a

des valeurs des intégrales

ro as Î «re ar, ] # re an, [a ro a,

où l’on a id. Hr0

et où f(x) reste positive, je suis parvenu à reconnaître que ces recherches conduisent à des théorèmes d’un nouveau genre, concernant le développe-

ment de l’expression B

| f(x) dx Z—x A

en fraction continue, qui joue un si grand rôle dans la théorie des séries. Voici, par exemple, un de ces théorèmes:

Si e est une des fractions convergentes de

que l’on trouve en développant cette expression en fraction continue

SHELL DEP TT ET EAN el que

de oies

soient les racines de l'équation ÿ(a)= 0,

rangées suivant leur grandeur: toutes les fois que la fonction f(x) reste positive entre les limites x — À, x — B, la valeur de l'intégrale

ên f(x) dx #l surpasse la somme p (2141) ? (2742) a a P(Zn—2) P(En—1)

Ÿ’ (2141) Ÿ (2142) ie à Ÿ' (n —2) si Ÿ’ (2n—1)

et reste au-dessous de celle-ci:

g(21) ® (2141) ? (2n—1) ? (Zn) d'en D'un "Yen D Ÿ En)

Comme exemple des problèmes qu’on parvient à résoudre par cette méthode, je citerai celui-ci:

Étant donnés la longueur, le poids, le lieu du centre de gravité et le moment d'inertie d’une droite matérielle de densité inconnue et variable d’un point à l’autre, trouver les limites les plus proches du poids d’un : tronçon de cette droite.

En supposant qu’il s'agisse d'évaluer le poids d’un tronçon de la ligne compté d’un de ses bouts, dont la distance du centre de gravité est égale à d, et en désignant par !, p la longueur et le poids de la ligne entière, par 4 son moment d'inertie autour de l’axe passant par son centre de gravité et perpendiculaire à celle, par +, z la longueur et le poids du tronçon en question, on parvient à cette solution:

Tant que x est au-dessous de

le poids z reste compris entre kp :

D M Hope dans le cas où x surpasse k d +- D ce poids reste entre les limites d—x}?p?., PO Gp

enfin, si x reste compris entre

k k î—dp et d+

la valeur de ce poids est comprise entre les quantités

@—D(—-Dp+k à (da (— dpt Ta < TU —%) «

nee,

S des