SUR LES FONCTIONS QUI DIFFÉRENT LE MOINS POSSIBLE DE ZÉRO

(XRADUXT PAR M. N. XKHANXKOF.)

(Liou ville. Journal des mathématiques pures et appliquées. IT série, T. XIX, 1874, p. 319—846.)

(UHpuroxenie x5 XXII romy Sanucoxe Huneparopcroï Araremiux Hayxe, N 1, 1878 r., ctp. 1—32.)

(Uuraxo 8H 3achxaniu Pusuko-Maremaruxecxkaro Orxbreuis 28 xox6pa 1872 r.)

Sur les fonctions qui diffèrent le moins possible de zéro.

1. J’ai montré, dans le Mémoire Sur les fonctions semblables à celles de Legendre*), comment le procédé que ce géomètre a employé **) pour établir la propriété fondamentale des fonctions connues sous son nom pouvait être étendue à d’autres fonctions, plus compliquées, qu’on obtient en développant l'expression

(1 ps + VT— 2er + 52) (1—s-+V1—257+ 52)"

en une série de la forme T+Ts+Ts+......

Jacobi, dans son Mémoire intitulé: Untersuchungen über die Differentialgleichung der hypergeometrischen Reihe***), déduit la même propriété des fonctions °

1 4: ns:

à l’aide d’une équation différentielle à laquelle on satisfait au moyen de séries hypergéométriques.

Je me propose ici d'appliquer ces fonctions à une recherche qui montrera plus clairement encore leur rapport intime aux fonctions de Legendre. Cette application consiste à déterminer les polynômes de la forme

qui, sans cesser de croître ou de décroître constamment entre des limites données, diffèrent aussi peu que possible de zéro. Les polynômes de cette

*) T. IL, p. 61—68.

**) Exercices du Calcul intégral, t. II, p. 250. *#*) Jacobi, Mathematische Werke. Band. III.

espèce, comme nous le verrons, s'expriment à l’aide des fonctions de Legendre uniquement dans le cas où #», le degré du polynôme, est un nombre impair, et le polynôme lui-même est une fonction croissante. Dans tous les autres cas, la détermination de ces polynômes exige l’emploi d’autres fonctions que nous venons de désigner par T5, T,, T,,... et que l’on obtient en développant en série l’expression

(is VT—326x + 5) (1—5+V1— 9287 + si)" V1 — 2sx + s?

pour des valeurs de À et 1 différentes de zéro. Les polynômes déterminés de cette façon trouvent une application utile dans les recherches de l’Analyse pure, comme dans les questions de Mécanique pratique, ainsi que nous l'avons montré dans notre Communication du 22 août 1871, faite à Kiev lors de la troisième réunion des naturalistes russes, de même que dans notre article sur le Régulateur centrifuge, imprimé à la suite du compte rendu de de l’École technique de Moscou pour l’année 1871.

2. Pour simplifier les formules, nous supposerons que les limites des valeurs de la variable x sont réduites à — 1 et + 1 (ce qu’il est toujours facile de réaliser).

En désignant par F (x) le polynôme

nous ferons remarquer que l’une des conditions de notre problème impose à la fonction F (x) d’être constamment croissante, ou constamment décroissante, depuis æ — — 1 jusqu’à x == + 1, de sorte que sa dérivée première

F'(x) doit conserver toujours le même signe entre ces limites; par conséquent, les

valeurs primitives F(=1, ‘ F1),

qui correspondent aux valeurs x —= — ], æ = + 1],

représenteront les limites entre lesquelles la fonction F (x) variera dans le passage de & = — 1 à x — + 1. Pour que le polynôme F (x) puisse différer aussi peu que possible de zéro, en passant de F(—1) à F (+1), il faut que le plus grand des nombres