Passant à la détermination de la dérivée F'(x

nous ferons observer que, comme nous l’avons dit, c’est une propriété des polynômes que nous considérons d’avoir une dérivée première qui ne change pas de signe entre x = — 1 et 4 — +- 1; donc non-seulement toutes les ra-

cines de l’équation F'{9) = 0, comprises entre les limites

doivent être multiples, mais le degré de leur multiplicité doit s’exprimer en nombres pairs.

Or, désignons par

Lis gypse m

toutes les racines de l’equation F'(x) = 0,

supérieures à — 1 et inférieures à + 1, par

D Me

m les degrés de multiplicité de ces racines, et supposons, comme cela est permis, que l’équation

ait À racines égales à + 1, et À, racines égales à — 1; nous allons prouver que la somme

1+h+2k +2 +....+2À,, qui représente le nombre des racines de l’équation

à (x) =0, ne dépassant pas les limites

ne saurait être inférieure à » — 1, ou au degré de cette équation. Pour nous en convaincre, admettons le contraire, c’est-à-dire posons

et prouvons que dans cette hypothèse il est toujours possible de faire varier le polynôme F(x) sans déranger ni sa forme, ni le signe de sa dérivée F’(x) entre les limites x — — 1 et x — + 1, mais de manière à diminuer la

valeur de l'intégrale +1

AE - (x) dæx, qui détermine la limite de l’écart entre le polynôme cherché et zéro.

Pour le faire voir, nous observerons que, d’après ce que nous venons de dire, l’équation F'(x) = 0, et la suivante

(@—1) (@+ 1} (x — a) (x — a)... (x— a jm 0

auront, entre les valeurs limites 4 — — 1 et x — +- 1, les mêmes racines et avec les mêmes degrés de multiplicité, et, par suite, le rapport

F"(x) Ce — 1) (+ 10 (x — 0) ( — 0)... (x — um) m

ne changera pas de signe entre æ — — 1 et x — + 1 et sera compris entre deux quantités distinctes de zéro. Désignons par L, la plus petite de ces quantités en valeur numérique, et remarquons que la différence

F"'(x) LL

(x —— 1} (x . 1)> (x — a)" (x — a). on (x — am)" Re

pour toutes les valeurs de x inférieures à + 1 et supérieures à — 1, aura le même signe que le rapport (x — 1) (x + 1) (x — a) (x — a), ds (x — am)"

et qu’elle lui sera inférieure par sa valeur numérique. La même chose, évidemment, aura lieu pour les expressions

F'(a)— L, (& — 1) (@ +1) (c— a)" (m— a)... (m— a )m, F'(x), qu’on déduit des précédentes en les multipliant par

d’où il est clair qu’en soustrayant de F’(x) l’expression L,(@ — 1} (œ+ 1) (x— a)" (x— a)... (m— a)",

nous ne cessons pas de satisfaire à la condition de conserver le même signe à F’(x) entre les limites æ — + 1; mais nous. diminuons par là la valeur

absolue de l’intégrale +1

IEC dæ,