PRE IX

en France (ce séjour devait durer 3 mois) à examiner les machines et les modèles du ,,Conservatoire des arts et métiers“, À observer la construction des machines dans les usines de Paris et des environs, surtout dans celle de M. Cavé, connue par ses machines-à-vapeur À cylindres oscillants, et d’autres établissements mécaniques, présentant un intérêt particulier, ou se rattachant aux sujets de mes investigations de Mécanique appliquée; l’autre partie de mon séjour à l'étranger devrait être employée à voyager en France pour étudier divers objets intéressants, à visiter les usines métallurgiques d'Hayange, où sont fabriquées aussi diverses machines; les célèbres fabriques de papier des environs d'Angoulême; la fonderie de l'Etat de Ruelle etc., dont la visite ne me prendrait pas beaucoup de temps.

Conformément à ce projet, j'ai étudié jusqu'au 8 août les objets se trouvant à Paris et aux environs. Ayant à ma disposition très peu de temps, que je devais partager entre le Conservatoire des arts et métiers“, les usines de M. Cavé et autres établissements touchant à la Mécanique appliquée, ainsi que le chemin de fer atmosphérique de St.-Germain, le chemin de Sceaux, reputé par sa sinuosité, la machine de Marly etc., je tâchais néanmoins d’enrichir mes connaissances théoriques à l’aide d'entretiens avec les célèbres géomètres français. Je passais en conséquence les après-midis tantôt au ,, Conservatoire des arts et métiers“, tantôt aux fabriques, surtout chez Cavé, et les soirées étaient consacrées tant aux conversations avec M.M. Cauchy, Liouville, Bienaimé, Hermite, Serret, Lebesgue et d’autres savants, qu'aux études théoriques en rapport immédiat avec les données fournies par l'examen des machines de différents systèmes, ou avec les questions d'Analyse, vers lesquelles mon attention était tournée par la conversation avec les savants. C'est ainsi que M.M. Liouville et Hermite m'ont suggéré l’idée de développer les principes sur lesquels fut jadis fondée ma dissertation, présentée en 1847 à l’université de St. Pétersbourg pro venia legendi. Dans cet écrit j'examinai le cas, où la différentielle à intégrer renferme la racine carrée d’une fonction rationnelle — le cas le plus simple et le plus fréquent dans les applications. Mais il était intéressant sous plusieurs rapports d'étendre ces principes au cas d'un radical de degré quelconque.

Ainsi dans le calcul intégral l’attention est surtout attachée à l'intégration des différentielles connues sous le nom de binomes; on propose pour cela un certain nombre de procédés particuliers, en expliquant dans quels cas ces procédés réussissent.

Excepté ces quelques cas on ne pouvait rien affirmer de positif

EE, be —

à propos de l'intégrale des différentielles binomes. Sont-ce nos procédés qui sont insuffisants, ou ces intégrales n'existent pas sous forme finie? On ne pouvait certainement trancher cette question à l’aide de procédés particuliers, si grande que soit la quantité des cas que ces procédés embrassent; il fallait un procédé général, embrassant tous les cas particuliers, et ce procédé se trouvait dans les principes dont j'ai parlé plus haut.

Je me suis occupé du développement de ces principes pour déterminer les cas, où les intégrales des différentielles binomes existaient. sous forme finie, et ceux, où elles se présentent sous forme de transcendantes particulières. LE

Mes recherches m'ont mené à la conclusion que les procédés par-. ticuliers proposés pour l'intégration des différentielles binomes.(algébriques) embrassent tous les cas, où cette intégration est possible sous forme finie, et, par suite, la question de leur intégration sous forme finie doit être considérée comme résolue définitivement. Entre autres je suis arrivé À un théorème qui contient, comme un cas particulier, le fameux théorème d’Abel qu'il a laissé sans démonstration *).

Des nombreux sujets d'étude qui se sont présentés pendant l’examen de différents mécanismes de transmission de mouvement, surtout dans la machine-à-vapeur, où l’économie du chauffage et la stabilité de la machine dépendent des procédés de transmission du travail de la vapeur, je me suis occupé surtout de la théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes. En recherchant les moyens de tirer de la vapeur le maximum de travail dans le cas, où l’on exige un mouvement de rotation, Watt a inventé un mécanisme spécial pour transformer le mouvement rectiligne du piston en mouvement circulaire du balancier, mécanisme connu sous le nom de parallélogramme. L'histoire de la Mécanique appliquée nous apprend que l’idée d'un pareil mécanisme fut suggérée au célèbre transformateur des machinesà-vapeur par l'examen d’un dispositif spécial, où la combinaison de divers mouvements de rotation formait des courbes dont quelques-unes

#). . . . le théorème suivant très remarquable a lieu: «Lorsqu'une intégrale de la

ie [EE —, où p et À sont des fonctions entières de x, est cxprimable par des logarithmes,

on ù peut toujours l'exprimer de la manière suivante:

[= 2+0VE p—avR

où À est constant et .p et q des fonctions entières de x. Je me réserve de démontrer ce théorème dans une autre occasion. Abel, Oeuvres complètes, T. I, p. 65.

étaient presque rectilignes. Mais nous ne savons pas, comment il est arrivé à la forme la plus avantageuse de son mécanisme et à la dimension nécessaire de ses éléments. Les règles que suivait Watt dans la construction des parallélogrammes ne pouvaient garder leur sens pratique que jusqu’au moment, où l’on à reconnu la nécessité d’en changer la forme; ce changement de forme demanda de nouvelles règles. La pratique et la théorie actuelle tirent cesrègles d’un principe suivi sans doute par Watt pour la construction de ses parallélogrammes. Les raisonnements que l’on fait pour démontrer ce principe ne peuvent certainement soutenir aucune critique; il arrive souvent que les éléments du parallélogramme trouvés à l’aide de ce principe ne conviennent pas en pratique, et il a fallu tracer des tables spéciales pour les corriger.

On voit bien la nécessité de soumettre les parallélogrammes de Watt et leurs modifications à une analyse rigoureuse, substituant au principe en question les propriétés essentielles de ce mécanisme et les conditions de la pratique. Pour arriver à ce but je me suis mis à étudier les conditions dont dépendaient plusieurs des éléments de ce mécanisme dans les machines des usines aussi bien que sur les bateauxà-vapeur, et d'autre part — l'effet nuisible de l'irrégularité de sa marche, dont les traces étaient visibles sur les machines longtemps en usage.

Me proposant de déduire les règles pour la construction des parallélogrammes de la nature même de ce mécanisme, je me suis trouvé en présence de questions d'Analyse fort peu connues jusque-là. Tout ce qui est fait sous ce rapport est dû au Membre de l'Académie des Sciences de Paris, M. Poncelet, qui s’est créé un nom dans la Mécanique appliquée; on emploie souvent les formules, trouvées par lui, pour calculer les résistances nuisibles des machines. La théorie du parallélogramme de Watt demande des formules plus générales et leur application ne doit pas se restreindre à l'étude de ces mécanismes. La Mécanique appliquée et les autres sciences appliquées contiennent beaucoup de questions pour la solution desquelles ces formules sont nécessaires.

Comme j'avais très-peu de temps à ma disposition pour traiter un sujet de si grande étendue, je n’ai achevé que la première partie de mon Mémoire, qui a été présenté à l’Académie Impériale des Sciences. | La question des D éhnrannite de Watt est étroitement liée à la question de la construction des machines-à-vapeur sans balancier,

c'est À dire — sans ce mécanisme. Le système de machines-à-vapeur de Cavé à cylindres oscillants est des plus remarquables sous ce rapport. Cela me fit m'intéresser à sa fabrique. A l’aide de ces cylindres oscillants la composition de la machine-â-vapeur devient beaucoup plus simple. Mais la mobilité des cylindres présente beaucoup de difficultés dans leur construction, surtout dans l’aménag'ement des soupapes. C’est surtout pour cette raison que je suivais avec un vif intérêt la construction de divers organes de ces machines, très avantageux dans certains cas.

Outre la fabrique de M. Cavé, la collection de modèles de machines du ,,Conservatoire des arts et métiers‘ (où se trouve entre autres le modèle d’une machine-à-vapeur très originale, inventée par le comte Roumiantzef), la machine mobile, achetée par le Gouvernement Français à Londres à l'Exposition Universelle, mon attention fut surtout attirée par deux machines: celle du chemin de fer atmosphérique de St.-Germain, et celle de Marly. Cette dernière présentait pour moi un intérêt tout spécial non seulement grâce à la combinaison ingénieuse de plusieurs machines-à-vapeur, mais surtout parceque son travail, consistant À élever l’eau à une hauteur considérable, est facilement déterminé par l'indication d’un manomètre ajouté aux pompes; en même temps d’autres manomètres déterminent la pression de la vapeur dans le cylindre et dans le condenseur. Cette machine prouve nettement l'influence que différentes conditions, généralement négligées par la théorie actuelle, exercent sur la quantité de travail. Ce n’est que d'observations pareilles que l’on peut espérer de tirer des formules déterminant avec une exactitude suffisante la quantité de travail de la machine-à-vapeur ainsi que les dimensions les plus avantageuses de ses parties.

M'occupant ainsi des machines-à-vapeur, je ne négligeais pas, autant que le temps me le permettait, les roues hydrauliques. Le Conservatoire des arts et métiers“ me fournissait une collection nombreuse de modèles de diverses roues, entre autres d’une turbine, qui se trouve dans un moulin à St.-Maur que j'avais visité trois fois. Cela m'a procuré l’occasion de trouver quelques données sur l'usage de ce moteur, qui n'est pas encore entièrement étudié théoriquement.

En outre, le , Conservatoire des arts et métiers{‘, ainsi que les usinés que J'ai visitées, me fournirent d’amples matériaux concernant les différents mécanismes pour la transmission du mouvement et les machines déstinées À un travail spécial. Mon attention fut attirée entre autres par les machines d’un mécanicien très-intéressant Vau-

canson, par la machine arithmétique de Pascal, par des dispositifs pour l’élevation de l’eau, par des machines de filature de coton et de lin, et par des machines métallurgiques.

Le 8 août je suis parti pour Metz. Je me suis arrêté pour quelques heures à Meaux pour y examiner les roues d’un moulin-à-eau, après quoi j'ai repris mon voyage pour Metz, où je suis arrivé le 9 août. Dans cette ville j’ai rencontré les Membres de la Commission Mathématique pour l'examen d'entrée à l'Ecole Polytechnique. Cette rencontre m’a fourni l’occasion d'assister à cet examen. C’est à Metz que j'ai rencontré M. de Polignac, connu en France par ces recherches en Mathématiques. Lui et moi, nous nous sommes occupés des mêmes questions, — nous avons cherché la démonstration du postulat de Bertrand et d’autres propositions de ce genre, et en suivant des voies différentes, nous sommes venus à bout des difficultés, présentées par ces questions. Le 15 octobre 1849 M. de Polignac donnait à l’Académie des Sciences de Paris un rapport sur l'étude des séries spéciales nommées diatomiques et sur les applications qu’on peut en faire. Il disait en particulier être arrivé, en partant de ces séries, à démontrer rigoureusement que dans les limites a" et a"** il se trouve au moins un nombre premier. Quoique cela soit insuffisant pour faire la démonstration du postulat de Bertrand, dans lequel les limites données sont plus étroites, même dans ces limites la présence d’un nombre premier ne pouvait être démontrée qu’à l’aide des procédés spéciaux. Les limites dans lesquelles on démontrait auparavant la présence d'un nombre premier étaient beaucoup plus larges.

Les recherches de M. de Polignac ont attiré l’attention des Membres de l’Académie des Sciences de Paris, surtout du géomètre Cauchy qui présenta à l’Académie, peu de temps avant mon départ de Paris, la seconde partie de ses recherches. Cependant en 1850 j'ai présenté à l’Académie des Sciences de St. Pétersbourg un article sur les ,nombres premiers“ contenant la démonstration du postulat de Bertrand; dans cet article j'ai démontré la présence des nombres premiers dans les limites plus étroites, et tout cela sans me servir des séries diatomiques. En publiant l’année suivante la première partie de son ouvrage, M. de Polignac compare, dans la préface, les procédés auxquels 1l a eu recours avec ceux dont je me suis servi et insiste sur les avantages présentés par les séries diatomiques. Cette différence d'opinions sur le même sujet, très peu étudié jusqu’à ce temps, explique bien le grand intérêt qui nous poussait l’un vers l’autre, et c'est à Metz que nous trouvâmes l’occasion de causer. — J'employais