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mes après-midis à causer avec M, de Polignac et les Membres de la Commission Mathématique, les célèbres géomètres Hermite et Serret, et les matinées étaient consacrées À la visite des usines de fer avec des fabriques de machines qui se trouvent en grand nombre près de Metz. Mon attention fut spécialement attirée par l'usine de Charles Wendel à Hayange connue pour son excellente PrÉPerAps de fer et sa construction de machines. Je suis resté à Metz jusqu’ au 16 août et je suis retourné à Paris le 17.

Arrivé à Paris, J'ai repris mes travaux de Mécanique Fe. à En outre, M. Liouville s’était offert à m'exposer un abrégé de la nouvelle théorie des fonctions elliptiques, professée par lui au Collège de France. Jusqu'à ce temps cette théorie, si intéressante et si importante par ses applications, ne consistait principalement que dans l'étude des procédés spéciaux, propres à elle. M. Liouville, célèbre par ses découvertes dans l'Analyse, eut l’idéé de baser cette théorie sur un principe général, déterminant l'importance des fonctions elliptiques entre les matières de l'Analyse pure. Sans s'arrêter sur la considération des fonctions déterminées par une telle ou telle intégrale, 1l commence par l'étude des propriétés générales des fonctions, et les partage en deux classes: les fonctions bien déterminées et celles qui ne le sont pas complètement. |

S'arrêtant sur les premières, qui sont les plus simples, 1l démontre quelques-unes de leurs propriétés générales; puis, passant au cas où elles sont périodiques, il démontre sur elles des théorèmes d’autant plus intéressants qu'ils ne dépendent aucunement ni de la forme des fonctions, ni de leur origine, mais uniquement de leurs propriétés essentielles, — détermination complète, continuité, périodicité.

Partant de là, 1l fait une théorie des fonctions doublement périodiques, les supposant partout bien déterminées. Il partage ces fonctions en classes, suivant le nombre des zéros et des infinis: il donne ces dénominations aux valeurs de la variable indépendante, qui, dans l’étendue d’une période, annulent la fonction ou la rendent infinie. Il démontre ensuite que le plus petit nombre de ces zéros et de ces infinis est 2, et trouve l'expression de la fonction avec un nombre quelconque des zéros et des infinis au moyen des fonctions, dans lesquelles ces nombres ont la moindre valeur, c’est à dire sont égaux à 2. Ceci démontre l'importance des fonctions doublement périodiques à deux zéros et deux infinis. S'arrêtent sur ces fonctions, 1l recherche l'équation différentielle, à laquelle elle doivent satisfaire, en partant des propriétés générales des fonctions périodiques. L’équation qu’il

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trouve ainsi ést la même, qui sert à déterminer les fonctions elliptiques inverses de première espèce. C’est ainsi que M. Liouville passe des principes généraux aux intégrales elliptiques, qui ont d’abord attiré l’âttention des savants par léur forme et leurs différentes ap- -plications: c'est à une de cés applications qu’elles doivent leur nom. Jusqu'à présent les investigations de M. Liouville présentent. un intérêt purement théorique; .mais nous n'avons aucune raison d’admettre qu'ici, ainsi que dans les autres parties de l'Analyse, un profond coup d'oeil ne découvre quelque chose de nouveau, si variées que soient les investigations antérieures. ; :-: Outre la théorie des fonctions elliptiques de M. Liouville, j'ai trouvé l'occasion d'en connaître les principes fondamentaux élaborés par un autre géomètre français, M. Hermite. Les principes de ce géomètre sont inférieurs comme théorie à ceux de Liouville, mais ils leur sont préférables dans les applications, surtout dans les fonctions elliptiques de seconde et de troisième espèce, auxquelles les principes de Liouville ne peuvent être appliqués immédiatement. | Comme mon cours de l’université de St. Pétersbourg comportait entre autres matières la théorie des fonctions elliptiques, il m'était bien utile d'apprendre ce que les deux célèbres géomètres français avaient fait sur ce sujet. Il m'était aussi intéressant de vérifier mes propres idées sur la périodicité des fonctions en général.

Le 28 août M. Liouville se rendit à Toul après m'avoir chargé de publier dans son journal deux de mes articles. Je passai les soirées à les rédiger, tout en continuant à m'occuper de Mécanique appliquée.

Le 16 septembre je suis parti à Angoulême connu par sa pro: duction de papier à lettre d'excellente qualité. En route j'ai trouvé l'occasion d'examiner une quantité d’objets très curieux touchant à la Mécanique, surtout la fabrique’ d'armes à Châtellerault. Je suis arrivé à Angoulême le 16 septembre au soir et j b suis resté jusqu'au 26 septembre,

Excepté les trois jours que j'ai mis à visiter Bordeaux (ce qui m'a procuré, entre autres, l’occasion de voir le pont suspendu sur la Garonne), j'aiemployé tout mon temps à étudier la fabrication du papier à Angoulême et aux environs, surtout À la fabrique de M. Comte, avec lequel j'ai lié connaissance en route. J’ai visité en outre la fabrique de canons de Ruelle, près Angoulême. A Coronne j'ai eu aussi l'occasion de visiter une fabrique de papier dont une partie était mise en mouvement par deux turbines.