Les polynômes de la forme a+ A + A +... +4, 2%+4À
déterminés conformément à ce qui vient d’être dit, différeront moins de zéro, entre les limites z— — 1 et x = + 1, que tous les polynômes de la même espèce, et qui seront, comme eux, constamment croissants ou constamment décroissants entre les limites indiquées de la variable x. En d’autres termes, l’écart entre zéro et tout polynôme satisfaisant aux mêmes conditions ne saurait être inférieur à L, limite des écarts entre zéro et la valeur des polynômes que nous examinons. Les valeurs de Z que nous venons de trouver nous permettent d’énoncer le théorème suivant:
Théoréme.
Si un polynôme de la forme n een À HAT +... +A :1+ A, ne cesse de croître ou de décroître depuis à = — 1 jusqu'à x = + 1 sa
valeur numérique ne saurait être, dans ces limites, inférieure à
loss tr .
2 ; L3.8...@m— 1/7» 5 # est un nombre pair,
ou bien à
LS 2 A dame
L jo si n est impair 1.8.5....(n—2)/ n +1? tmparr.
Dans la dernière formule, il faut prendre dans l'expression n Æ 1 le signe + ou le signe — , selon que le polynôme cherché croît ou décroit depuis x —= — 1 jusqu'à x = + 1.
Ce théorème nous permettra d’en déduire un autre plus simple, en remplaçant les valeurs exactes de Z par des valeurs approchées, mais inférieures aux premières. En effet, ces valeurs approchées s’obtiennent aisément à l’aide de la formule de Wallis
4 #4 2m 2m 92m+2 2m+2 3 5 Om—1 2m+1 2m+1 2m+3
Notamment, si l’on fait
+ 2m (2m +2) (2m +2) (2m + 4) ne 7 (2m—+1} (2m +- 3}?
et vi (2m +- 2}? * (2m + 4} + — (@m+1)(2m+3) (Cm+3)(2m+5) ‘?
l'expression de + devient
T 2 2 4 4 2m EME GS CN ON TANODS -pes De et 3594 4 2m 2m y PR CSC. CRT es Im—!l 2941:
d’où l’on tire
ER Se | = 2mT 1.5.5....@m—1)) 2MmFIX et
ER ssh m\2(2m+1l)zx, 1.3 : ml Y?
mais comme les valeurs trouvées ci-dessus pour X et Y peuvent être miscs sous les formes
A (1 ge) (ge)
F=(1 nn) (1 sé eee M
il est évident que Ali, ET.
. Donc en supprimant, dans les équations précédentes, les termes de X et }, nous obtenons les inégalités
AP PE SERRES POTTA m Le 2mT 1.3.5....(2m—1) 22Mm+-1 ?
et
dE RU m DA na à 1.3.5....(2m— 1) DEMI
GE
sera comprise entre deux produits qu’on obtient en multipliant
Ainsi la valeur de
T 7m par 2m et 2m—+1; donc cette valeur sera égale à RUT multipliée par
une certaine valeur moyenne entre 2m» et 2m + 1; mais, comme cette moyenne peut être représentée par 2m» + 0, où l’on a 9 > 0 et < 1, nous pouvons remplacer les dernières inégalités par l’équation
Roi interet e m\?2 (2m+0)7 1.3.5....(2m—1)) — 22m+1
En faisant dans cette formule
pour » impair, et
pour » pair, nous obtenons
An AU et j'te 2 Tr TE 0e) Tnt),
et
Ne à) ss ee n/ = gi (n +06).
Or, comme la valeur de @ n’est limitée que par zéro et 1, et que la différence 1 — © se trouve dans le même cas, cette différence pourra être rem-
placée dans la formule ci-dessus par 4, ce qui nous permettra de simplifier les formules où figure cette différence et d'écrire :
Se 2 1.2.8... ; \ 1.8.5....(n — 2) = jn (n — 6).
Comparant les égalités que nous venons d'obtenir avec les expressions de Z du n° 6, nous voyons que ces dernières peuvent être remplacées par
En at n — 0 n +0 Ati M Et. D
En examinant ces valeurs de Z, nous remarquons qu’on obtient la limite in-
férieure de Z par la formule TE n+1 n—0 Es
en y faisant 0 — 1 et en prenant + 1 avec le signe +, de façon que cette valeur limite devient
n — 1 on
st
On voit ainsi que ZL surpassera toujours
et nous sommes amenés au théorème que voici:
Théorème.
La valeur numérique du polynôme
. . « Q n — 1 e A depuis x—=—1 jusqu'à x — + 1 doit surpasser —5n T, St ce polynôme ne cesse de croître ou de décroître entre ces limites de la variable x.
Si nous faisons dans nos formules
RE APR fouet er mb,
et si nous remarquons que, dans ce cas, le polynôme
n n—1 DA D W..L+ AÀ dr À,
se réduit à un polynôme de la forme
étant multiplié par
AT. @ EU. de LS er SAT et que les limites de la nouvelle variable z deviennent —@pourt——1 et 2—0 pourx = +1,
nous déduisons du théorème précédent le nouveau théorème que voici:
Théorème.
La valeur numérique du polynôme SU iR I +A Ts...
j ; k b—a\® . ; depuis z — à jusqu'à 2 — b doit surpasser (n — 1) =] %, Sù Ce polynôme me cesse de croître ou de décroître entre ces limites.
Or, à l’aide de ce dernier théorème il nous sera aisé de conclure:
Théorème.
Si la valeur numérique de f (b) — f (a), différence de la valeur de
Dr de ART te...
pour z = a et 2 — b, ne surpasse pas la limite
la dérivée f' (2) change de signe entre z = a et 2 =D.
En effet, si f” (2) ne changeait pas de signe entre z = a et z — D, le polynôme
ne cesserait d’être, entre ces limites, ou constamment croissant, ou constamment décroissant, de façon que toutes ses valeurs, depuis z — a jusqu’à z — b, seraient comprises entre ses deux valeurs extrêmes, qui correspondent aux valeurs limites de z que nous venons d'indiquer, et qui se réduisent à
P(a=— + (@)— (a), PO= (D —f().
On voit ainsi que, depuis z == à jusqu’à z — b, la valeur numérique de D (x) ne surpasserait pas celle de :
3 (F@)— ra),
c'est-à-dire ne saurait être supérieure, d’après les conditions du théorème énoncé ci-dessus, à
— 2 (n — 1) (=) == (ù — 1) (Tr,
ce qui est impossible en vertu du théorème précédent. Faisons
z F(2) = (mn + 1 fe B, "+ B,2" 7 +...) de, a
La fonction F(2) se réduit, dans ce cas, au polynôme
RAS EX où n=Mm+ 1,
et la dérivée première de F(2) est
F'()=(m+1) ("+ B,2" + Bet +...)
On a donc b
F(b) — F(a) = (m + |" +8, + B,8" *+...,)ds,
Nous en concluons le théorème que voici:
Théorème.
L’équation | a+ Be + Bg" +...—=0
doit nécessairement avoir au moins une racine entre z = a et 2 = b, si la valeur numérique de l’intégrale
Jensen .. | ds
ne dépasse pas la valeur de 2m b— a\M +1 A l’aide du même théorème, il sera aisé d’établir un théorème nouveau concernant la série de fonctions
f@, fe, FE...) l'O,
qui servent à déterminer les racines d’après la méthode de Fourier.
Théorème.
| 2n Quelle que soit la valeur t, si l’on prend dans l'expression + V0 Sa es f(t)
le radical avec un signe contraire à celui de la fraction <— FO? , le nombre des variations de signes dans la série
FOR li. [6 [(), HN RASE Ar ti
ne saurait rester le même, si l’on y met consécutivement pour z la valeur de
t et celle de t + ne J'@
A(n —1}r?° Ils se présentent plusieurs cas différents dans la démonstration de ce théorème, suivant le signe des quantités f(#) et f’ (#). Nous nous bornerons à considérer le cas où ces deux quantités auront le signe +; mais le raisonnement que nous suivrons dans cette occasion s’appliquera facilement à tous les autres cas.
En supposant les deux valeurs f(é) et f’(f) positives, nous ——.
prendre dans l’expression RE UE EAN 2e —
— 214 — « le radical avec le signe —, et nous aurons à démontrer que, dans le cas où fO>0, FO>O,
le nombre de variations de signes de la série fe: FO oies Te)
est | ê rs=1et po = { 41) EU) n’est pas le même pour 2 — pour z = { — Te = 1j
Pour le démontrer, nous observerons qu’il est évident que toutes les fois qu'entre les limites indiquées ci-dessus l’une des deux fonctions f(z) ou f' (2), ou toutes les deux à la fois, s’annulent, le nombre des variations de signes dans la série
fe), FO, lo: Te), NO
doit varier; quant à l’hypothèse qu'aucune de ces fonctions ne devient zéro entre les limites que nous considérons, il est aisé de démontrer, à l’aide du théorème précédent, qu'elle ne peut avoir lieu. En effet, si fO>0, fO>0
et si en même temps les équations f()—=0, f(2)—0, n’avaient pas de racines entre 2— 4, 2—{t—4 Va les fonctions f(e), Fe)
devraient conserver, entre ces limites, le signe +: donc on aurait
f(—4V D) <r 0 | et la valeur numérique de | Fo—f(—4V rs)
devrait être inférieure à la valeur numérique de f({), ce qui, en vertu d’un théorème précédent, est impossible; car la différence
pour | SE Li CE bat, a=t—4
d’après ce théorème, doit surpasser
2 (n—1)r() = 2— nr Ve | =10.
En apvliquant ce dernier théorème au cas où l’équation ppliq
Po lS LUS "+... =0
n’a pas de racines imaginaires, et observant que dans ce cas tout changement du nombre des variations de signes de la série
PO ll (1° 0 indique la présence d’une racine de l’équation f(e)= 0
entre les valeurs de z, nous sommes conduit au théorème que voici:
Théorème.
Quelle que soit la valeur t, on trouvera toujours au moins une racine de l’équation
f@=# +8 "+ Le +... = 0, 2n/ Fan entre les limites t et t HA Va en prenant devant ce dernier radi-
cal le signe contraire à celui de la fraction FA
posée n’a pas de racines imaginaires.
si toutefois l’équation pro-
ares à S pe É,
ts
ke,
SUR
