L'INTERPOLATION DES VALEURS ÉQUIDISTANTES

(LRADUIT PAR C. A. POSSÉ.)

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Ipuromenie «5 XXV romy Sanucoxs Huneparopcro“ Axaremin Hayxr, X 5, 1875 r.

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Sur l’interpolation des valeurs équidistantes.

$ 1. Si l’on cherche par la méthode des moindres carrés l'expression d’une certaine fonction f(x) sous la forme d’un polynôme, les valeurs de la fonction f(x) dont on sesert pour déterminer son expression étant

f(L), f(2),. Re f(m— 1),

le polynôme cherché, comme on le sait, est donné *) par la formule

D 90 (a) 7) De (2) 7 (0) (1) pr er) + : pt) Her.) + LT 2, %@ Pi? (æ) 1 1 où Dot), P,(&),....

désignent les dénominateurs des fractions convergentes de la somme

Ÿ PO Le + de —h. a—1 x—92 Mn tee 2—m+l =! n

obtenus par son développement en fraction continne

Les fonctions Po(X); P1(),. ...,

*) Voir le Mémoire sous le titre: «Sur les fractions continues», T, I, p. 203—230.

comme j'ai déjà indiqué, jouent le même rôle dans Le calcul inverse des différences que les fonctions de Legendre dans le calcul intégral et, par analogie à ces dernières, peuvent être représentées par la formule *)

en faisant abstraction des facteurs constants qui se suppriment évidemment dans la formule (1).

Cette expression des fonctions

: Do (&), ®,(x),. “ns

simplifie notablement, comme on va le voir, le calcul de toutes les sommes qui figurent dans la formule (1).

$ 2. En abordant la déduction de l’expression mentionnée des fonctions Po (D). D (Ms convenons de désigner, pour abréger, par ® (x) le produit (x — 1) (x—2). | ..(t—n) (m+n—2x—1) (mn—x—2). ...(Mm—%). Ce produit s’annulant pour æ=1, 2,....n, G=mMmEn—1l, Mm+n—2,.... M, toutes les quantités P(x), P(x+1),...., P(t+n—1)

pour t— 1 etxz—m seront égales à zéro, et la même chose aura lieu à l'égard des différences

A" P(x), A B(x+1),...., AP(x+n—72) qui se déterminent d’après les valeurs Pix), P(x+1),...., P(x+n—1).

Cela posé, il n’est pas difficile de montrer que la somme

*) Sur une nouvelle série. T, I, p. 381—384.,

quelle que soit la fonction F{(x), se réduira à la somme "D D(x+n)A"F(x).

Pour nous en convaincre, remarquons que, transformant la somme

D F(x) Ad (>) n fois de suite à l’aide de la formule connue DIRE RER VD Po uAU nous trouverons qu’elle se réduit à l’expression suivante: F(x)A" (x) —AF(x) A" *P(z+1)+ A F(x) A P(x+2) +... +(— 1 Pat n—T) AT Fa) + (I) D D(x +7) °F (x). Or, en vertu de ce qu’on à vu à l'égard de la fonction

P (x n— 1) et des différences

AT P(x), A D(x+1),.... AP(z+n—2),

tous les termes de la formule précédente hors du signe a se réduisent à

zéro pour = 1 et pour &æ — »; donc on aura dans ces limites

En faisant F(x)= 9 (%), Fa)—0(2),...., F@)—9, (x) et remarquant que pour ces valeurs de F(x) on à Aro 0,

on trouvera

D 9) A" (2) = 0, Da GA" (rs =0,.... Do, (AP (x) = 0.

Or, ces égalités, en vertu du $ VII du Mémoire cité sur les fractions continues, montrent que dans le développement de la fonction A" (x) en série A2) +Bo(x)+....+Gop,,(x) + Ho,(x)

les coefficients A; D: 0

se réduisent à zéro, d’où il suit que A" (x) ne diffère de o, (x) que par un facteur constant. Ce facteur, comme il a été dit, se supprime dans la formule (1). En faisant abstraction de ce facteur nous prendrons

| ce qui réduit l’égalité (2) à la suivante

A F(x)9, (&) =(—1) 7h P(x+ n) A" F(x), 1 1 où P(t)—(x—1)(t—2)....(x—n)(m+n—x—1)....(m—x).

$ 3. Passant à l’évaluation des sommes contenues dans la formule (1), nous introduirons, pour abréger l'écriture, le signe ['(4) pour désigner le produit 1. 2. 3... (u—1).

A l’aide de cette notation les produits

seront représentés par

ce qui donne pour les expressions des fonctions P (x), ©, (x)

= TT T(m+n—x) PIRE T(m—x) ?

BARRE CE 0 T(m+n— x) (3) MUSA TES 1e.

et par suite la transformation précédente de la somme se réduit à la suivante

nm Tim—n—x)

De @) F@ = (— DE T'(m — x) A'F@).

En faisant ici

nous trouverons pour l’évaluation des sommes

Jabra, Jarre, Care.

la formule suivante

28 =)" SES so A Fo).

En faisant dans la même formule

F(x) re Ph (x), nous aurons

Q T'(x ) T(m—x) " 2% @= 1) x re rm-r2 À (0)

Or d’après (3)

20 Lx) T(m+n—x) \ Pa (&) = T(æ—n"n) T(m—x) ?

d’ailleurs

T re = &—1) &09) »: ‘GE n), T Pa RS = (on +0 — 2 — 1)(m—+n—2)....(m—x), donc, dans le produit P(æ) TC(m+n—x) T(x—n) T(m—x)

le terme du plus haut degré en x est égal à x;

il en résulte que la différence d’ordre 2» de cette fonction se réduit à la quantité constante (— 1)" 2n (2n—1)....38.2.1,

ce qu’on peut représenter à l’aide du signe F' comme il suit:

On en déduit que ts p,(&)=(—1) T(2n+1),

et, par conséquent, la transformation trouvée ci-dessus de la somme

> Pa (&)

nous donne

Sr,@=r een Ÿ a

Or, L'(m—n—x) étant infinie pour Z—=Mm—Nn,Mm—n+1l,...mMm—I1,

tous les éléments de la somme < F(c+n) T(m—x) > (x) FT(m—n—x)

à partir dexz—m—n se réduisent à zéro, et par conséquent on peut prendre pour limite supérieure de cette somme »m—"n au lieu de #”; en vertu de cela l’égalité précédente se réduit à la suivante

e 14 TG) L(n— 2) (4) DANS SR D 2 l'(x) T(m—n—x)

$ 4. Pour déterminer la valeur de la somme, qui figure dans la dernière égalité et dans d’autres pareilles à celle-ci, que nous rencontrerons plus loin, nous allons trouver maintenant l’expression de toutes les sommes de la forme

OTerr-DT T(N—x+q—1) 2 T (x) T(N— x)

ce qui est facile à faire à l’aide du binôme de Newton. Remarquons pour cela que les développements des puissances

(ep CESR en séries par la formule de Newton à l’aide des signes >} et I peuvent être

écrits de la manière suivante:

A l(pæ+X) à ET 2rprae 5

PT: a PE T(a+u) nu a ot es D

ap N T(p+g+v) y AY STE DER

les sommations y étant étendues sur toutes les valeurs entières de À, 4, v de 0 à co. En comparant le produit des deux premières sommes à la dernière nous aurons l’identité

NN! T(p+à Fe T(g+ y) m— N'T(p+g+v) j

qui peut être représentée d’une autre manière sous la forme

++ T'(p + À) : T' (a+) pi — T(p+q+\) f THTA+1) F()T(u+1) ml (p+9T (+1)

En déterminant ici les termes ayant le facteur #"—?, nous aperceyons que dans le premier membre de cette identité le coefficient de #"? est égal à la somme des valeurs de l’expression

T(pæ+d). T(g+v) THTA +1) T(g)T (+1)

correspondant à toutes les valeurs entières et positives de À et m, dont la somme À + p. est égale à N — 2, ou, ce qui revient au même, à la somme de toutes les valeurs de cette expression, dans lesquelles

À prenant successivement les valeurs 0, 1, 2,....N-—2. On voit d’après cela que le premier membre de l’identité considérée renferme le terme sui- vant avec la puissance {*:

A=N—1 T(p+) T(g+N—2—)) pN—2 — P(pT( +1) F(g9T(N—1—)) ’

D'ailleurs, le terme avec la même puissance de é au second membre de cette idéntité étant

l'(p+q+N—9) jy F+DTN—) ?

nous concluons qu’elle entraîne l’égalité suivante: A=N—1

\' T(p+) T+N—2—)) T(p+q+N—2) — FHTA+1) F(OT(N—1—2X) T(p+9T(N—1)

En la multipliant par L (p).1" (g) et posant

A+ 1—7, nous la réduirons à la forme:

G) VIG+r—D Tea 0 TT T(p+a#+N—2), — F (x) T(N— x) 7 T(p+0) T(N—1)

En posant ici

N—m—n", p=n+1l, qg=n+]1,

nous aurons, pour déterminer la somme, renfermée dans la formule (4),

CT(&+n) T(m—x) T?(n+1) T(m+n) > T(æ) T(m—n—x) T(2n+2) Pn—n— D"

d’où il résulte

Remplaçant encore T° (2n + 2) par (2n + 1) L (2n + 1) on aura

< __ T(n+1)T(m+n) > Pa (&) + Dm n—1)

$ 5. Pour déterminer les fonctions

Po (&), ® (&), D (&),....,

à l’aide de la formule (3), nous allons déduire préalablement les expressions des différences des fonctions Pas T (x) . T'(q — x)

Calculant les différences du premier ordre, on aura

L'ée) "Fo +i} °° Tia, lé: Te-prh : Tin) DE 0! et.) HÉRSRRES À El, Aout DORE À Hs

T@—p—n La—p—æ—n Ta—p- Remplaçant PG+ 1), To Pop EST) QG?)

par les quantités équivalentes

T'(x — L'ia 5 = a To), EN, ET, Qq—a— 1) TQq—e— 1)

nous aurons, après quelques réductions,

FUN Se T'(x) Tuw—p) — 2T@—p+l) Poe -lTosr=1

Ta-p-d Pra-p-0

En appliquant ces formules à la détermination des différences du 2-me, 3-me etc. ordres, nous trouvons en général

Gus 1) AE () Pen DIF. ARRET r (9 — T'(g—x—1 Are. 2 0 DEN. Ernie Remplaçant le produit p(p—]1)....(p—1+1) ar : T(p+1) Fate) on obtient T'(x) T(p +1) T' (x) : TE — T(p—1+1) T(œ—p+1 (6) L r(g— x) fi} T'(p +1) pe PER OU U P(g—p—x) — T(p—1+1) T(q9 — p—%)

Passant à la détermination de la fonction +, (x) d’après la formule

xz—n) FT(m—x) nous allons développer la fonction

en série à l’aide de la formule

FF +-1)- EE a F1) ED à F(n +1) +.

qu’on peut représenter sous la forme suivante, au moyen des signes a et f,

NT T(z—n) A F(n +1) ee PA Pare Ç FA—+i) ?

la somme étant étendue sur toutes les valeurs entières et positives de À et A F(n+1) coïncidant avec la fonction initiale F (n +1).

En posant dans cette formule

Ga + n — x) F(œ) = F'(m— x)

et remarquant que d’après (6) on a dans ce cas

\ F(x) =(—1} a CA 8 der eme à

À + 1) F {mm — x)

nous aurons

He T(n+1)T(m—À—1)T(x—n) V'(m— x) => — 1) TA+1)T(n—A+1)T(m—n—1)T(x—n—))

ce qui, étant multiplié par T (x) T(z— n)

se réduit à ce qui suit:

Tax) T(mn—x) =) — 1} T(n+1)T(m—À—1) T(x) l'(&—n) T(m—x) TA+ IT (R—1+ 1) (m—n—1)L(&—n—})

En déterminant d’après cette formule la différence

nN OT(x) T(m+n—x) Fan) T(m—x) ?

nous trouvons qu’elle s’exprime par “a 1 T'(n+1)T (m—À—1) n T'(x) > ) TO+1)T(n—À1+1)T(m—n—1) Tœ—n—))

Or cette différence étant égale à la fonction

Ph (x), et la formule (6) donnant

Tin+à+1) (x) \ = TA+l) T(æ—))

nous obtenons l’expression suivante de la fonction +, (x):

1AT(n+1)T(m—À—1)T(n+Ài+1) T(x)

où la sommation, comme on a vu, s’étend sur toutes les valeurs entières et positives de À.

D'ailleurs, le diviseur L'(n—À+1) se réduisant à co à partir de ÀA— n+1 et les termes correspondants se réduisant par conséquent à zéro, on pourra prendre pour limite supérieure de la somme À = n + 1.

$ 6. Substituant les valeurs des sommes

> Pn (&) F(&), 5 Pn (&)

trouvées ci-dessus dans la formule (1) et dénotant généralement par

Cas

l’expression T(a+B+1) __(a+B(x+B—1)....(« +1) V(a+1)7(8+1) P2:...$8 4

qui représente le coefficient de a* ° dans le développement de (a + DS nous trouvons que le terme général de cette formule peut être représenté comme il suit:

n2n+1 T(m—n—1) >) Cp—iyn Cm—n—x—1;,n AJ (x) CETTE er) rs ®, (&)

ou k.

TE P(in+1)T(m—1) On (&)

où l’on a posé pour abréger

=(—1) = On +1 Ë Go—iyn Om—n—a—1;n AT)

died Cm—1 on

Il en résulte que le développement de la fonction f(x) d'aprés la formule (1), arrêté au (7 + 1)-me terme, sera représenté par la somme:

Cr 1) F Mm—n— Fh+i)r Dh Pn (&).

Désignant cette valeur approchée de f(x) par F (x), nous aurons:

el N'T(mn—n—1)F, F(æ) = TM) Pn (&))

Eat 4N Tn+l)T(m—À—1)T(n++1) (x) Pn @&) = D 1) P(O+1)T(n—i1+1)l (m—n—1 T(&—h

Développant les sommes renfermées dans ces formules nous obtenons F(x) sous la forme d’un polynôme de dégré /; cette expression de F(x) ne diffère que par les notations de celle que nous avons donnée dans la note mentionnée ci-dessus. D'autre part, à l’aide de ces formules, servant pour la détermination de F(x), il est facile de calculer les valeurs