F(1), AF(1), AF
comme nous allons voir tout de suite.
En déterminant d’après ces formules les différences
A°F(z), Ao: (x),
u. étant un nombre quelconque nous aurons:
N'Tm—-n—-1)Fr, 7. F@)= 2ruenr 9 Pa @),
EE
Re 1ATn+1)T(m—À1—1)T(n+i+1) 44 T(x) \ Pn(e) = 2 1) P2(+1)l(n—À+1)T(m—n—]1) T'朗))
Or d’aprés (6)
DR TOR T'(x) TuiNr Flute DI-i1+p)
ce qui donne, pour + = 1,
MT. TA T' (1) TA) TO —-e+D Tes)
Le diviseur L'(À—u +- 1) étant infini pour À—u<—1 et le diviseur ['(1— +1) pour À —u7 1, la différence
sr.
Ar T{i—1 ne diffère de O que pour À —u — 0, c’est à dire pour À =; donc, dans la
somme qui représente la valeur de Al ©, (x), pour x — 1, il ne reste qu’un seul terme, correspondant à À — x et dans ce terme la différence
F T{x) Â T'(æ — À) d’après la formule que nous venons de trouver, en vertu le l’égalité À = u, se réduit à L'(u + 1). D’aprés cela, en vertu de (7), pour x — 1, il résulte
r 1e Tin+1)T(m—u—1)T(n+u+1) Â Pa (1) #7 bre D'ÉRSra miles
B Rs u Tim—u—1)Tn+u+1)F Â F()=S(— 1) D NP ENT PE à
n=0 Le diviseur L (n — pu + 1) se réduisant à co pour n=0,1,2,...,u—1,
tous les éléments de la somme de n —0 à n — y. se réduisent à zéro, et par suite on pourra prendre pour sa limite inférieure » — y, en vertu de quoi, la formule déduite s’écrira comme il suit:
p Cr nT( 1)F Er ER M — Lu — nn ++ 4 Â FD 1) PReUrD en at
$ 7. Dans la formule qui exprime la valeur de la différence A FG)
l'expression
se réduit à 1 pour = 0,
ce qui correspond au cas où A" F (1) se réduit à FÆ (1); par suite, la valeur de F (1) sera donnée par la formule
n=i+1 FH=S EF, =EF+E+....+F, n—=0 Passant à la recherche des différences À F (1), A F(1),... nous
représenterons pour abréger l'expression
É 1} Tm—u—1)T(n+u+1) T(u+1)T(m—1)T(n—u+1)
par
(ue, n);
d’après cela la formule que nous avons trouvée pour l'évaluation de A F(1)
prendra la forme : u ar ds A F()= 2 (4; n) F,.
Appliquant l'égalité
vr- mu T(m—n—1l)r(n+u+1) AL rm TNT (U+ DT (+1) à la détermination du rapport : (ue + 1, n) (4, 7) nous trouvons (ue + 1,2) __ T(uæ+1) T(m—u—2) T(n+u+2) T(n—uæ+1 (us 2) L(u+2) T(m—u—1) Tn+p+1) T(n—u) ?
ce qui se réduit, à cause des égalités
L'(u+2)=(u+1) P(u+1), l(n—yp—t)={(n—p—2)1(m—4—2), P(n+-u+-2) = (n+p+1) Tru), nul) = (np) L'(n—v),
à ce qui suit
(u+1,n) ___(n+u+1) (nv) ____n(n+1)—n(p+1), EN (u+l)(m—nu—2) (be + 1)(m — p — 2)
d’où il résulte
(ue +1) (m — —2) (be, #).
Cette relation entre les quantités (+ 1,2), (h, n), y joint l'égalité remarquée ci-dessus (0, ")=1,
donne le moyen de calculer facilement toutes les valeurs du facteur (4, n)
dans la formule n—i+1
A'EFD=Û , nE,
En vertu de ce qui précède nous concluons que les quantités F(1), AF(1), FD, AF(1),....
dans le cas, où la série (1) est arrêtée au (/{ +- 1)-me terme, se trouveront à l’aide des formules:
F()=F +++ E,+.,, + PF, A F(1)=(1,1)F,+(1,2)F,+(1,38)F,+....+ (10, MF(1) = (2,2)F,+(2,3)F+....+(20F,
(8) ASF (1) — (SF... RUB DE,
les quantités Dos un Pari
étant données par les formules
m 2 Cyr, n Cm—n—x—1, n A" f(&)
Eee n 2n+ 1 1 F=(-W ÈS .
C (c+B)(a+B—1)... («+ 1) CPE CREES D. ssso.ée B ?
et les facteurs (1,1), (1,2), (1,3),....(1,0), (2,2), (2,3),....(2,0), (3,3), ...(8,0),
AR Die He GE CET RER ONE D D
se déduisant successivement à l’aide de l'égalité
nin+1)—-um(u+1) (+ 1)(m — 1 — 2) (ue, #),
(9) HI) =— où l’on pose (0,1) —1,(0,2)=1, (0,3) = 1,.,... (0,7) = 1.
$ 8. Pour montrer sur un exemple l’emploi de nos formules, nous allons les appliquer à l’exemple qui dans la Ballistique de N. Majevsky a été calculé d’après nos anciennes formules. Dans cet exemple les valeurs de la variable x et les valeurs correspondantes de la fonction f (x) sont les suivantes:
2e lie fiti-n.:0,2020, Sc P(r)— 0,1885, oui fa) 0,1645, dE ft) = "01434 VD (a OAIFS, %=6; :f(@)= 0,0897, mt fi .: 0,0681, tem ff}. 00244, x—9; f(x)—=—0,0122,
En calculant d’aprés ces valeurs de f (x) ses différences de divers ordres, formons la table suivante:
Ayant »m— 10, dans cet exemple, nous aurons pour n — 0
: , as Gin Obs} pour n = 1 y x (9 — x), 10, Cp DE ET) Co1 = à Ne 3 æ (9 — 2%) F=—- 5 ÙùT 1.1 A/(&); pour n = 2 __({t+1)x (9—x)(8—x) , __11.10 PRET 7—an — ‘1.2 1.5 Ge ra se 5.2 (æ+1)æx (9 — x) (8 — x) BG. > 1.2 1.2 At f(x); pour n = 3 (@+2)(&æ+1)x (9—x) (8 — x) (7 — x) C 24.414 10 æ—158 6—2m3 — 1,2.3 À 1.2.3 ER 3 2 + 7.243 (x +2) (x+1)x(9 — x) (8—x) (7 —&) ,3 FE 55.102 0. 244095 A°f(æ).
Déterminant d’après les valeurs données ci-dessus de f(x) et de ses différences A f (x), A f (x), A f (x) les sommes contenues dans les quantités
PL HR PE F, nous trouvons
NWTæxæ 9—x > : 1
Af(x)=—3,2312; 1)æ (9 — x) (8— DE DÉS nf (5) = — 1,2908; Ne Perte ne a 1,259
Ts se à E—2 A f(x) — 0,0656;
ce qui donne après la substitution dans les expressions des quantités
les valeurs suivantes: | F,= + — 1,2908 — — 0,0130, F,=— 7.2.3
En ajoutant ces quantités, nous avons d’après (8) la valeur de F (1) correspondant au cas où l’on s’arrête au 4*° terme dans l’expression (1) de la fonction cherchée ou, ce qui revient au même, quand on suppose ses quatrièmes différences égales à zéro. Ainsi, on trouve pour la valeur de F (1)
D’aprés les mêmes valeurs des sci FiscEs nous obtenons en vertu des formules (8) les différences
A F(1), A? F(1), & F(1) à l’aide des facteurs (1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,3).
Or d’après (9) pour
m=10, u—0,n— 1,2,3, en posant : (0,1) = 1, (0,2) = 1, (0,3) = 1, nous trouvons
1.2—0.1 1 US uen a 1 M danger à 2.3—0.1 8 UN died. - 2 US se 1 ..(10—3) Re:
Donc, d’après (8), on passe de la valeur trouvée ci-dessus de F(1) à la valeur de À F (1), en omettant le premier terme et multipliant les autres respectivement par
ED=— 5 (2)=—<, (3)=— 75 Ainsi, nous trouvons | A F(1)=—+:0,1077 +2: 0,0130 ++ + 0,0002 — = — 0,0269 + 0,0097 + 0,0003.
Pour passer de cette valeur de la première différence de F(1) à la se-
conde, il nous faut omettre d’aprés (8) le premier terme et multiplier les suivants respectivement par les rapports
Or, ayant d’après (9) pour m— 10
(2% 9.1.8: 2 M... 2.4.1.2 à RD SR TT 1
nous aurons en vertu de ce qui précède pour la valeur de A? F(1) A F(1)=— 7%: 0,0097 — +. 0,0003 = — 0,0028 — 0,0002.
En y omettant le premier terme et multipliant le second par le rapport
égal, en vertu de (9), à 8.4—2,8 or 3 (10—4) NS 2 nous trouvons A5 F(1)=— +: — 0,0002 — 0,0001.
Ainsi, pour l'évaluation de la fonction cherchée, la quatrième différence étant supposée nulle, nous aurons F(1) = 0,1084 + 0,1077 — 0,0130 —0,0002 — 0,2029, A F(1)= —0,0269 + 0,0097 + 0,0003 = —0,0169, MF(1) =—0,0028 — 0,0002 = — 0,0030, A$F(1) — 0,0001.
$ 9. Les formules que nous avons déduites se rapportent au cas où toutes les valeurs
fQ), f(2),..... , Fm — 1)
sont supposées également bonnes, ou ce qui revient au même, quand leurs erreurs moyennes qguadratiques sont égales.
Dans le cas où ces erreurs de quantités
sont inégales et inversement proportionelles aux quantités
la formule (1) doit être remplacée, comme on sait, par la suivante
Po (x) 0? (x) f(x) 1 () 0? (x) f (x)
> go (e) + 1. D +....,
Po? (æ) 0? (x) qu (x
où | Store AU re
désignant les dénominateurs des réduites de la somme
62(1) 62(1) . 62(2) 62 (m — 1) Te nes tt" gen l
obtenus par son développement en fraction continue
Il n’est par difficile de montrer que le cas où
__T(&+a) T(m—x+$) CET FE roc D
æ, 5 étant des constantes quelconques, peut être traité à l’aide des formules analogues à celles qu’on a déduites pour le cas de @ (x) — 1. Remarquons pour cela que la fraction
nT(x+ a) T(m—x+86-+n) F(x—n) V'(m— x)
se réduit à une fonction entière de dégré n*) et qu’en vertu de (2) en y ‘posant
ete T(m—x+8B+n) P (x) — T(&—n) T'(m— x) ?
on trouve
T(x+-a) T(m—x+-8-+-n) T(x--n+-0) l(m—x+8) 3 (10) Jre " D eee re)
*) L’expression de cette fonction est indiquée ci-après.
En faisant ici F (x) successivement égale à Pot), 21)... ph (€) et remarquant que pour ces valeurs de F (x) la différence n À FO
se réduit à zéro, nous concluons que toutes les sommes
< NT(x+a) T(m—x+8+n) 2%) À Tan) Tin ”
AT(x+a) lT(m—x+B+n) 21% À T(x—") lung
AT(x+a) T(m—x+86+n) Pn—1 (x) Â T(x—n) T'(m— x)
sont égales à zéro; donc, en prenant
T'(c+a) T(m—x+$) Pme TER Tia
et posant pour abréger
NT(c+a) T(m—x+86+n) À (x) F'(m — x) =”.
T(xæ+ a) l'(m—x+ 8) F (x) F(m—x)
nous aurons
> 2 (2) W,8(x)=0, Ds e,(æ) W,6(x)—0, ,1 (4) W, (x) —=0.
Or, de ces égalités, en procedant comme en$ 2 dans le cas de 9 (x)— on conclut que
Pa (&) = et par conséquent, d’après nos notations
NT(x+a) T(m—x+8B+n) T(x — n) T'(m— x) 11 LE 5 Pn ( T(c+ a) T(m—æ+$) E{2) T'(m— x)
Passant à la détermination des sommes Voda(bra, Dane (fa), D 9,(00(2)f(2),...., Joe), Dore), N'oi(x) (x)...
nous remarquons que l'égalité (10), après y avoir substitué la valeur de
NT(x+a) T(m—x—+B+n) Txæ—n) T'(m— x)
tirée de (11) et remplacé T(c+ a) T(m—x+8) F'(x) F'(m — x)
par Π(x), donne
D F(x)9, (2) 6 (x) = (— 1)" Diese pe een 4" F(x).
En faisant ici F'(x) = f (&), nous trouvons
CPC 1)" dresse ED À f(o),
ce qui sert à faciliter le calcul des sommes
be f(æ) po (&) (x), es f(æ) o, (x) (x)...
Pour évaluer la somme
Ù 3, (@) 8 (x) nous poserons dans cette égalité
Fa) = 9, (2),
et la formule (11) donnant pour une telle valeur de F (x)
A" F(x) = A"o (x) = (— ir (nl Onse SD n nous aurons is F2.
is (®) 8 (0) = Tn+1)T(2n+a+6+1) 5 l@tatmT(m—e+ 6)
La fonction P'(m—x—n) devenant infinie pour
T=Mm—N, Mm—n—1,..... , Mm—1,
en vertu de quoi tous les éléments de la somme
Viper T'(m— x +8)
l'(x) l'im—x—n)?
à partir de z—"—n se réduisent à zéro, on pourra prendre m—n pour limite supérieure de cette somme, et elle s’écrira comme il suit: m—n
Tru n) T(m—zx+p$) > T (x) T(m—x—n)
Or cette somme est égale, d’après (5), à
Tin+a+1)T(n+B6+1) T(m+n+ + $) T'(2n + a + P +2) V(m—n—1)
En substituant cette valeur de la somme
Trés) T'(m — x +8) ” FT (x) F(m—x—n)
dans la formule précédente, nous trouvons que la somme 53 2 D 9,2 (x) 07 (x) s'exprime de la manière suivante
Tn+1)T(n+a+1)T(n+8+1) T(m+n+at+f) Qn+a+8+1) PT (m—n—-1)lT(n+a+f$8+1)
$ 10. Passant à la détermination des fonctions Po(&), 2(&),....
d’après la formule (11), nous remarquons qu’en général la différence
