LES EXPRESSIONS APPROCHÉES LINÉAIRES PAR RAPPORT À DEUX POLYNOMES

Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques. Deuxième série, Tome I. Année 1877, p. 289—312.

AUHCUHUXLE OMHOCUMCNLHO ya nonunomobé.

(Hpuroxenie rx XXX romy 3anncors Hmneparoperoï Araremin Hayr®, N 4, 1877 r., cTp. 1—24.)

Sur les expressions approchées linéaires par rapport à deux polynomes.

$ 1. Dans une Lettre à M. Braschmann“*), nous avons montré de quelle manière, en développant une fonction en une fraction continue

et déterminant ses fractions convergentes

BD, Pi httl .

Q Fr’ Q di s ;

on peut trouver les valeurs des polynômes X, Y, pour lesquels l’expression uX — Y

diffère le moins possible d’une fonction donnée v.

Ainsi que nous l’avons indiqué dans la Lettre que nous venons de citer, et démontré dans le Mémoire intitulé: Sur le développement des fonctions en série au moyen des fractions continues **), les polynômes X, Y, qui satisfont à cette condition, sont déterminés par les séries

d) É X=0, Q,+o, Q, +0, Q,+..., | Y= — Fo +, P,+o, P,+o, P,+...,

où nous désignons par Æ la partie entière d’une fonction et par

W,, W,, Us.

*) T, I, pag. 611—614.

#*) T. I, pag. 617—656.

des fonctions entières, que l’on obtient au moyen de la valeur de la fonction v et des dénominateurs

Qis Qu Ogre.) is os Ass.)

fournis par le développement ci-dessus de la fonction w en fraction continue, au moyen de la formule générale

= (—1) E(4(00;— Ev0Q)),

que l’on peut écrire, d’une manière plus abrégée, (2) Se Gun ec E(q,F(vQ,)),

en représentant par la notation

F(vQ;)

l’ensemble de tous les termes du développement de la fonction v@, qui renferment des puissances négatives de la variable. En arrêtant les séries ci-dessus aux termes correspondants quelconques

wo, Q: sr:

on trouve le système des polynômes X, Y, tel que X est d’un degré inférieur à Q,,,,, et que la différence entre l’expression #X— Y et la fonction v est du degré le moins élevé compatible avec la supposition que X est un polynôme de degré moindre que Q Alors, le degré du polynôme X est déterminé par le degré du terme

D, Qi

le dernier des termes conservés dans le développement de X, et le degré de la différence uX — Y—

est déterminé par le degré du premier terme de la série

On (CT se RE, EE CINE, C1 CS re PRE For

qui ne se réduit pas à zéro *).

En supposant que le premier de ces termes soit

Onin (uQ,, 4 Mr LC À

*) Voir les articles cités plus haut, ct notre Mémoire intitulé: Des maxima et minima des sommes composées des valeurs d’une fonction entière et de ses dérivées. T. IT, pag. 3-—-40.

et désignant par o le degré de la fonction

On?

on conclura de ce qui vient d’être dit que, en général, le degré d’approximation de l’expression uX—Y par rapport à v est déterminé par le degré du produit

a (u Qn En Foi

et conséquemment par le degré de la fraction

PT SO DAT | Qm + n +1 vu que, d’après les propriétés des fractions convergentes, le degré de la différence UQn # Lie

est égal au degré de la fraction

Qu + n +1 On voit d’après cela que l’expression uX — Y,

X, Y étant des fonctions entières, et X étant d’un degré qui ne surpasse pas celui de +°Q,,, peut représenter la fonction v avec une exactitude pous-

sée jusqu'aux termes du degré de al

Qm + n D

dans le cas seulement où les équations suivantes sont satisfaites:

do, < CE RE pa P;

où nous désignons, suivant la notation d’Abel, par à le degré d’une fonction.

Lorsque ces conditions sont remplies, les séries (1), arrêtées aux ter-

mes &,,Q,, w,,P,, donnent, comme on l’a vu, une valeur de X d’un degré au

plus égal à celui de æ'Q,., et l'expression uX — Y diffère de v par des termes d’un degré au plus égal à celui de a?

Qm + n +1

D'après cela, les conditions nécessaires et suffisantes pour que la formule

uX — Y

puisse représenter la fonction v avec une exactitude poussée jusqu'à æ7”, le degré de X ne surpassant pas M, s’écriront ainsi

| HET 0, One — 0, Ph es PTE 0, (3) |

ou, pa Ty 0 Sen Ps

en désignant par

Qu ds

les derniers dénominateurs des fractions convergentes

dont les degrés ne dépassent pas les limites M et N— 1, et par o, p les degrés des fractions

$ 2. Nous allons maintenant démontrer que ces conditions peuvent être remplacées par celles-ci, qui sont plus simples:

(4) SF(Q)< 36 F(0Q) < 3 dans lesquelles

sont les deux derniers termes de la série

@; Qs; Q3. Du

qui, étant multipliés entre eux, donnent un produit de degré moindre que M + N.

Pour cela, trouvons d’abord une limite supérieure des degrés

0F(vQ,), 2F(vQ «43 dF(0Q

nt) 7 Fe,

dans le cas où les conditions (3) sont satisfaites. Après nous être convaincus, de cette manière, de la nécessité des conditions (4), nous démontrerons que celles-ci, de leur côté, supposent que chacune des conditions (3) soit remplie.

D’après la liaison qui existe entre les fractions convergentes