MEN—L

Comme, dans ce cas, pour toutes les valeurs de à, depuis è =» +-1 jusqu’à i—m#+n— 1 inclusivement, la fonction w, se réduit à zéro, il s’ensuit que, pour toutes ces valeurs, l'égalité que nous venons de trouver se réduira à la suivante:

(6) di F(vQ,) = F(v0,,,)— F(v@,;.).

En remarquant que la fonction g, est d’un degré non inférieur au premier, on conclura de cette égalité que dans la suite

F(vQ,,), F(vQ,,.), a F(LQ 4 n)

parmi trois termes consécutifs

F(vQ,, ;), F(v0,), F(vQ,;), la fonction du milieu

F(vQ;)

devra dans tous les cas être d’un degré moindre que celui d’une des fonctions extrêmes :

F(vQ,,,), F(vQ;,). On voit par là que, dans la suite

ol (vQ,), dE (vQ +), péalies dF(LvQ, , 3)

aucun des termes intermédiaires ne peut présenter un maximum, et par suite il ne peut y avoir qu'un minimum. ; En supposant que

SF (0Q)

soit le premier terme de la suite

SF(vQ.), DE(vQ..).... E(0Q,.)

qui donne une valeur minimum, nous remarquerons que, pour toutes les valeurs de ?, depuis 2 = 7%» + 1 jusqu’à à = À — 1, la fonction

F(vQ,) sera d’un degré plus élevé que F(vQ,,)

et par suite, d’après l'égalité (6), son degré déterminera le degré de l'expression Qi F(VQ;),

On tire de là, pour les 2 grandeurs considérées, l'égalité SF(0Q) = à.

En y faisant > i=m+l,m+2,...., À—1,

on obtiendra une suite d'équations qui serviront à passer successivement de la fonction

F(vQ,)

TU h 10,2... 00.)

Ces équations nous donnent

aux fonctions

, RES F(vQ } DF(0Q = dm), ! "à : FvQh) ik (LG 42) ns Im-+-1Im+2 3, PET. F(vQ y) èE (v@;,) + Ima m2: Dia :

En passant aux termes de la suite

(7) DF(LQ), DE(LQ 1h. +: SE(VQ,),..… DF(LQ

qui suivent le premier terme mentionné

dF(vQ,),

nous remarquerons qu'aucun de ces termes ne peut être moindre que le terme en question, et par suite nous aurons ou

F(vQ,,,)=ÔF(vQ)), 3F(vQ, ,,) > DF(vQ)),

selon que le terme en question devra, ou non, être suivi d’un terme qui lui soit égal.

Pour ce qui est du troisième terme

ÔF(vQ,. ),

il ne peut avoir la même valeur que le terme en question; autrement il se trouverait, dans la suite

F(vQ,,), F(vQ

FRE À Tu ot F(vQ,,.,)

trois termes du même degré, ce qui a été démontré impossible par ce qui précède, On voit par là que, après le terme

de la suite (7), les termes doivent aller nécessairement en croissant, et parconséquent, pour toutes les valeurs de 4, depuis 4—À-+- 1 jusqu’à = m+-n—1, on aura

ùF(vQ,,,) > dF(vQ,).

Il s'ensuit de là, en vertu de (6), que, pour ces valeurs de à, le degré du terme

Q: F(vQ;)

sera déterminé par le degré du terme F(vQ,,.), ce qui suppose légalité

SF(Q)) me is),

En y faisant tour à tour

i=mrn—l, m+n—2,...., +1,

on obtient une suite d'équations, qui serviront à passer successivement de la fonction

F(vQ

aux fonctions FO A Fe Re F(vQ, , ).

De ces équations on tire

LR ÿ F(vQm1-n) RAR ETAT ANNE.

F(0Q 451) FR F(vQn-+-n) DF(VQ 2) Imin—1 7 !

DF(vQ, .) tee S F(vQm-1-n)

mn—1 Lmn—2: °° ri

$ 3. De cette manière on déterminera, au moyen des deux fonctions extrêmes de la suite

F(vQ,), F(00,,,,),.... F(0,,,,), F(v0,,,)

les degrés de toutes les autres, à l’exclusion d’une seule fonction

F(vQ,).

Pour déterminer le degré de cette fonction, remarquons que la formule (6) donne, pour à — À,

q, F(vQ,) NES F(vQ, ,,) Me F(vQ,.).

Comme, en vertu du paragraphe précédent, les termes

F(vQ,,,), FvQ,,)

sont des mêmes degrés que les expressions

F(vQ mn) Am+n—1 Imn—2:... + F(vQ mn) m1 Em+2: ° 1

l’une au moins de ces expressions sera d’un degré non inférieur à celui de

4 F (vQ,).

et par suite nous aurons | er F(vQn) èF(v@,) +2 Im+1 Ame: 19) ou dE (vQ,) ES F(vQm-+n)

Am+n—1 Im+n—2: :-: 0) +1 a

Comme, en vertu du paragraphe précédent, pour

i=mm+l,m+2,.... À —]1,

i—1+l, 1=2,.... m+n—1 on à ou l'égalité SF(0Q,) = 5 —— On)

Im Im+2-.. di ou l’égalité Fu F(vQ ) ÔF(vQ,) — ù me .

Em-in—1 nm-n—2: "di

et qu’alors il est évident qu’une au moins des conditions

Tm+-1 m2: di

ÔF(vQ,) 2 F(vQn)

SF (pQ,) = à — msn) —,

que nous avons trouvées ci-dessus pour

Lx à

est satisfaite, nous en conclurons que, pour toutes les valeurs de à depuis i—m+ 1 jusqu'à à — »-+-n— 1, on aura l’une ou l’autre des conditions

: : F0 Qm) dl (vQ.) = " ( Q) . Jm+1 Im+2: "di ou

SF (o Q) 5 F(vQm-1-n)

Em+n—1 Im-n—2: "Qi

Pour ce qui est des limites supérieures des degrés des fonctions

F(vQ,,), F(vQ,,.,,) elles peuvent être déduites des dernières conditions (3),

do ES, DU TD.

Pour cela, nous remarquerons que, d’après la formule (2), qui détermine les