CA
sont de mêmes degrés que
ces inégalités conduiront à la suivante:
dE
On voit par là que la limite supérieure du degré de chacune des fonctions
F(vQ,), F(vQ,,,),-... F(v0,,,
sera déterminée par la plus grande des deux quantités
no » DS
pour la valeur correspondante de .
En supposant que dans la suite
Que Qu Qu...
les deux dernières fonctions qui, étant multipliées l’une par l’autre, donnent un produit d’un degré inférieur à M+- N soient
Gi Qu nous remarquerons qu’elles devront satisfaire aux inégalités
8 (Qy-1 + Q) <M+N,
{ (8) . Les U O(Q- QD >M+N.
et comme 3 — Me N—5(Q,.Q,..),
Qi+
ces inégalités supposent que l’on a
| au
ER Qi sii—/—1,et que
Qi ou £ x dr
si 2—/; par conséquent, d’après ce que nous avons trouvé relativement à la limite supérieure du degré
F(vQ;), nous aurons, pour — l—1eti= | dF(Q,)< 3% x F(vQ) <3 4.
Nous allons maintenant démontrer que ces inégalités, déduites, comme on l’a vu, des conditions (3), exigent à leur tour nécessairement que chacune des conditions (3) soit satisfaite.
$ 4. D’après notre système de notations,
Pin, Pr Pisu
Qi Q Qu représentent les fractions convergentes du développement
An. À
qui correspondent aux quotients incomplets
T2 Ti? Liu En représentant par
la fraction ordinaire à laquelle se réduit la fraction continue
Alta
Qui
on trouve, en vertu des propriétés des fractions continues,
Qu = OS + Qi, T
Multipliant cette égalité par v, on a
vQ, tu = VOS + vQ,, T, ce qui suppose l'égalité
F(vQ,,,) = F(vQ,S) + F(vQ,, T).
En séparant les parties entières et fractionnaires des fonctions vO,, vQS, vQ.;, vQ,, +,
vQ, er E(v0Q,) Fe F(vQ)), vQ,S Gene E(vQ,S) + F(vQ,S), vQ,, cs E(vQ,) + F(vQ,.), vQ,, T = E(vQ,, T)+- F(vQ,., ‘à
il vient
par l’élimination de Q,, Q,., en tant qu'ils sont en dehors des signes E, F,
on en tire F(vQ,S) au à SF(vQ)) 7 SE(vQ)—E(v@S),
F(vQ,, T)=TF(vQ,,)+ TE(vQ,,)— E(vQ,, T).
En portant ces valeurs des fonctions F(vQ,S), F(vQ,, T)
dans l'expression trouvée plus haut de la fonction
F(vQ,,,) et posant, pour abréger,
SE(vQ,)—E(vQ,S)+ TE(vQ,)—E(vQ,, T)=U,
il vient (10) F(vQ,,,) = SF (vQ) + TF(vQ,,) + U.
Comme S et T sont les termes de la fraction simple
à laquelle se réduit la fraction continue
+ — EL Un +,, TL
— ; tp
ces quantités seront de mêmes degrés que les produits
d Tir Mae Diru—:
Jia Tire° Nr Liu)
et par suite de mêmes degrés que les fractions
ru, Qi+u 7 QE Qi
formées avec les dénominateurs des fractions convergentes
Pi, Pit, Pi +u Q Qiri Qi+u
du développement
D’après cela nous aurons
DS — 3e, ST 5 Êeu.
En remarquant maintenant que, en vertu de (9), F(Q)<3 5 SF (0Q,) <D rL
on trouve
DS +- JF (Q) — DSF(vQ)< 3 LE,
ST + dr eQ )=ÈTF(LQ, EL ret
Or, She @ le chap | Q. Qi
est d’un degré non inférieur à M + N; par conséquent la dernière inégalité donnera
STF(0Q,,)< D Su.
On voit par là que, dans l’expression de la fonction FO eu) d’après la formule (10), les deux termes qui contiennent la variable aux degrés négatifs sont d’un degré non supérienr à
et par suite SF(0Q,..) < 0.
Si l’on remarque maintenant que
Ô ne ÿ Qui T4 Qu à nous en conclurons que
Dieu FOQ ) £È LH.
En faisant successivement dans cette inégalité m=0,1,2,....,n+m—Îl—1
et remarquant que, pour ces valeurs de w., la fonction EN +, atteint seulement la limite Q@,,,, dont le degré, d’après le $ 1, ne surpasse pas N—1, nous en conclurons que
dg,F (vQ) 0, ds (0Q 4) < 0, Les ES A CR, < 0; d’où il s’ensuit que, en déterminant les fonctions
Verte Noen-s
par la formule | w,—=(— 1) "E(q,F(vQ,)), on trouvera
En faisant maintenant — m+n—7, on aura LE AS F(v0,,,1) < 5 msn,
et par suite, en déterminant la fonction w,,,, par la même formule, on remarquera qu’elle sera d’un degré non supérieur à celui de Qmtnt, 31 HA
Comme on a, d’après notre notation ($ 1), Ô nan 0, on en conclut que
du
min p:
Ainsi nous nous assurons que les inégalités (9) entrainent necéssairement les conditions
do
MAN —= pe
Pour démontrer maintenant que la même chose a lieu relativement aux autres conditions (3), représentons par
T L T 2 les fractions convergentes du développement
dy) Ps,
qui correspondent aux quotients incomplets q,,, 4 A l’aide de ces fractions, les fractions convergentes du développement
ETS + Ts Xi he,
qui correspondent aux quotients incomplets
Dies ais Dos ad seront déterminées les unes par les autres de la manière suivante:
Pin — Pi) Si + Pi) Ti, Py __ Pi) S2 + Pj) T2 QI Qu Si + Qui Ti Qi Q—heS2 + Qui Le
En résolvant maintenant les équations
Qi; us Qi .: S; Ps Q) à I, Q= Qi 183 + 0), T
Qn On et remarquant que, d’après les propriétés des fractions convergentes,
